工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−3x² + x + 2)/(x² + x + 1)。

f(x) = (−3x² + x + 2)/(x² + x + 1)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(3x² + 2)。求 f′(−1)。

f(x) = ln(3x² + 2)x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 12x² + 45x + 3。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 12x² + 45x + 3

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁² x·ln x dx。

∫₁² x ln x dx

I =

6.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = 2x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = 2x

A =

7.复数中等

把 z = 2∠−40° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 2θ = −40°

b =

8.复数困难

解 z² + 6z + 25 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 6q = 25

a =

9.微分方程中等

一罐 4 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 29 °C 的房间里。 22 min 后其温度为 24 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 12 °C？

T₀ = 4 °CT_a = 29 °CT(22) = 24 °CT = 12 °C

t = min

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 2y/x = 4x，x > 0，y(1) = 1。求 y(3)。

y′ + 2y/x = 4xy(1) = 1

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [5 2; 2 1]B = [5 3; −6 −2]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −5x + y = −7 和 2x + 2y = −3。求 x。

−5x + y = −72x + 2y = −3

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (0, 4, 1) 与 b = (4, 1, −7) 的点积 a·b。

a = (0, 4, 1)b = (4, 1, −7)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (3, 1, 2)、b = (−1, −1, −1) 和 c = (−5, −2, 2)。

a = (3, 1, 2)b = (−1, −1, −1)c = (−5, −2, 2)

V =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.15, 0.25, 0.1, 0.35

σ =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.3 赢得 €20，以概率 0.01 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€20: p = 0.3€100: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：49, 55, 27, 37, 29。

n = 5

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。求成绩 410 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 60x = 410

z =

19.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.5 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.5 mm

P =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 5%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = −3

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−3 + 1/x + 2/x²)/(1 + 1/x + 1/x²)

令 x → ∞

L = −3/1 = −3

答案

L = −3

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 4

洛必达法则

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[cos x]

代入 x = 0

L = 4/1 = 4

答案

L = 4

3.导数

答案: f′(−1) = −1.2

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 6x/(3x² + 2)

代入

f′(−1) = −6/5 = −1.2

答案

f′(−1) = −1.2

4.导数

答案: x = 5

导数

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

解 f′(x) = 0

x = 3 或 x = 5

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 24：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

答案

x = 5

5.积分

答案: I = 0.6363

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0.25) = 0.6363

答案

I = 0.6363

6.积分

答案: A = 5.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

0.5x² = 2x → x = 0, x = 4

对上减下积分

A = [x² − 0.1667x³]₀⁴ = 5.333

答案

A = 5.333

7.复数

答案: b = −1.286

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 2·cos(−40°) = 1.532

b = 2·sin(−40°) = −1.286

直角坐标形式

z = 1.532 − j1.286

b = −1.286

答案

b = −1.286

8.复数

答案: a = −3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 36 − 100 = −64 < 0

求根公式

z = (−6 ± j√64)/2 = −3 + j4, −3 − j4

答案

a = −3

答案

a = −3

9.微分方程

答案: t = 5.272 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(-25/-5)/22 = 0.07316 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(-25/(−17))/0.07316 = 5.272 min

答案

t = 5.272 min

10.微分方程

答案: y(3) = 9

积分因子

μ = e^{∫2/x dx} = x²

积分

(x²y)′ = 4x³ → x²y = 4x⁴/4 + C

初始条件

1 = 4/4 + C → C = 0

求值

y(3) = (4·3⁴/4 + 0)/3² = 9

答案

y(3) = 9

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = 11

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = 5·3 + 2·(−2) = 11

答案

c₁₂ = 11

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.9167

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·2 − 1·2 = −12

替换 x 列

det Aₓ = (−7)·2 − 1·(−3) = −11

x = −11/(−12) = 0.9167

答案

x = 0.9167

y = −2.417

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = −3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 0·4 + 4·1 + 1·(−7) = 0 + 4 + (−7) = −3

答案

a·b = −3

为负：两向量的夹角大于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: V = 11

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−1)·2 − (−1)·(−2) = −4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−1)·(−5) − (−1)·2 = 7

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−1)·(−2) − (−1)·(−5) = −3

与 a 的点积

a·(b × c) = 3·(−4) + 1·7 + 2·(−3) = −11

V = |−11| = 11

答案

V = 11

15.概率

答案: σ = 1.459

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.15 + 2·0.15 + 3·0.25 + 4·0.1 + 5·0.35 = 3.35

平方的均值

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.15 + 9·0.25 + 16·0.1 + 25·0.35 = 13.35

方差

Var(X) = 13.35 − 3.35² = 2.127

σ = √2.127 = 1.459

答案

σ = 1.459

16.概率

答案: E(G) = 2 €

净结果

G: 15 (p = 0.3), 95 (p = 0.01), −5 (p = 0.69)

期望值

E(G) = 15·0.3 + 95·0.01 − 5·0.69 = 2 €

答案

E(G) = 2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 12.28

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 197/5 = 39.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 9.6² + 15.6² + (−12.4)² + (−2.4)² + (−10.4)² = 603.2

标准差

s = √(603.2/4) = 12.28

答案

s = 12.28

18.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (410 − 500)/60 = −1.5

答案

z = −1.5

19.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.5 − 200)/0.5 = −1

上尾

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

20.正态分布

答案: x = 22.13 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 32 + −1.645·6 = 22.13 min

答案

x = 22.13 min

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