工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(2x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (2x − 1)³。求 f′(1)。

f(x) = (2x − 1)³x = 1

f′(1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 9x² + 24x + 6

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₂¹⁰ 2/x dx。

f(x) = 2/x[2, 10]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 9 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 9 − x²

A =

7.复数中等

已知 z₁ = 2∠−60° 和 z₂ = 4∠−25°，求 w = z₁/z₂ 的实部。

z₁ = 2∠−60°z₂ = 4∠−25°

Re(w) =

8.复数困难

n = 6、w = 729∠45° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 5。求 z₅ 的实部。

w = 729∠45°n = 6k = 5

Re(z₅) =

9.微分方程中等

一个 320 °C 的钢锻件放在 26 °C 的车间里冷却。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.05 min⁻¹，求 17 min 后的温度 T。

T₀ = 320 °CT_a = 26 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 17 min

T = °C

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 3y/x = 5，x > 0，y(1) = 2。求 y(3)。

y′ + 3y/x = 5y(1) = 2

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−3 0 1; 4 2 4; 5 −2 −5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −6x + 6y = −3 和 −3x − 6y = −2。求 x。

−6x + 6y = −3−3x − 6y = −2

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−7, 6, 2) 与 b = (−3, 1, 4) 的点积 a·b。

a = (−7, 6, 2)b = (−3, 1, 4)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (30, 0, −60) N 作用在点 A(0, 2, 3)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的大小 |M|。

F = (30, 0, −60) NA(0, 2, 3) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.25 赢得 €25，以概率 0.02 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€25: p = 0.25€100: p = 0.02

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：31, 46, 31, 36, 56, 27, 39。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值高于 74 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 10x = 74

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0359。求 z，保留两位小数。

A = 0.0359

z =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 15% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分15%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 7.389

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·2 = 2

还原对数

L = e² = 7.389

答案

L = 7.389

2.极限

答案: L = 6.25

第一次应用

5·sin 5x/(4x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/4

代入 x = 0

L = 25/4 = 6.25

答案

L = 6.25

3.导数

答案: f′(1) = 6

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 3·(2x − 1)²·2

代入

f′(1) = 3·1²·2 = 6

答案

f′(1) = 6

4.导数

答案: x = 4

导数

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

解 f′(x) = 0

x = 2 或 x = 4

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

答案

x = 4

5.积分

答案: I = 3.219

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 2·ln x

代入上下限

I = 2·(ln 10 − ln 2) = 2·ln 5 = 3.219

答案

I = 3.219

6.积分

答案: A = 36

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

积分

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答案

A = 36

7.复数

答案: Re(w) = 0.4096

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 / 4 = 0.5

θ = −60° − (−25)° = −35°

直角坐标形式

Re(w) = 0.5·cos(−35°) = 0.4096

Im(w) = 0.5·sin(−35°) = −0.2868

Re(w) = 0.4096

答案

Re(w) = 0.4096

8.复数

答案: Re(z₅) = 1.826

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

729^1/6 = 3

根的辐角

θ₅ = (45° + 360°·5)/6 = 307.5° → −52.5°

直角坐标形式

z₅ = 3·(cos −52.5° + j sin −52.5°) = 1.826 − j2.38

Re(z₅) = 1.826

答案

Re(z₅) = 1.826

6 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 60°。

9.微分方程

答案: T = 151.7 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 26 + 294·e^−0.05t

代入 t

T(17) = 26 + 294·0.4274 = 151.7 °C

答案

T = 151.7 °C

10.微分方程

答案: y(3) = 3.778

积分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

积分

(x³y)′ = 5x³ → x³y = 5x⁴/4 + C

初始条件

2 = 5/4 + C → C = 0.75

求值

y(3) = (5·3⁴/4 + 0.75)/3³ = 3.778

答案

y(3) = 3.778

11.矩阵与行列式

答案: det A = −12

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −2, M₁₂ = −40, M₁₃ = −18

代数余子式展开

det A = (−3)·(−2) − 0·(−40) + 1·(−18) = −12

答案

det A = −12

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.5556

系数矩阵的行列式

det A = (−6)·(−6) − 6·(−3) = 54

替换 x 列

det Aₓ = (−3)·(−6) − 6·(−2) = 30

x = 30/54 = 0.5556

答案

x = 0.5556

y = 0.05556

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = 35

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−7)·(−3) + 6·1 + 2·4 = 21 + 6 + 8 = 35

答案

a·b = 35

为正：两向量的夹角小于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: |M| = 161.6 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (0, 2, 3) − (0, 0, 0) = (0, 2, 3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 2·(−60) − 3·0 = −120 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·30 − 0·(−60) = 90 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·0 − 2·30 = −60 N·m

模

|M| = √((−120)² + 90² + (−60)²) = 161.6 N·m

答案

|M| = 161.6 N·m

15.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

16.概率

答案: E(G) = 3.25 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 20 (p = 0.25), 95 (p = 0.02), −5 (p = 0.73)

期望值

E(G) = 20·0.25 + 95·0.02 − 5·0.73 = 3.25 €

答案

E(G) = 3.25 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 10.1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 266/7 = 38

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−7)² + 8² + (−7)² + (−2)² + 18² + (−11)² + 1² = 612

标准差

s = √(612/6) = 10.1

答案

s = 10.1

18.描述统计

答案: P = 0.3446

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 1 − 0.6554 = 0.3446

答案

P = 0.3446

19.正态分布

答案: z = 1.8

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0359 = 0.9641

反向查 z 表

在表中找到 0.9641，读出 z。

z = 1.80

答案

z = 1.80

20.正态分布

答案: x = 115.6 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 100 + 1.04·15 = 115.6 分

答案

x = 115.6 分

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