工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−4x³ − 3x + 6)/(x³ + 3x + 8)。

f(x) = (−4x³ − 3x + 6)/(x³ + 3x + 8)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(1)。

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 12x² + 45x − 6。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 12x² + 45x − 6

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 3x

A =

7.复数中等

把 z = 8∠−20° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 8θ = −20°

b =

8.复数困难

n = 4、w = 16∠0° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2, 3。求 z₃ 的辐角，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

w = 16∠0°n = 4k = 3

θ₃ = °

9.微分方程中等

解 y″ + 7y′ + 10y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 0。求 y(1)。

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 17y = 34，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。

y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.25) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₁（第 1 行，第 1 列）。

A = [0 1; −1 5]B = [−5 0; 1 −4]

c₁₁ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [5 −2; 4 −4]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (0, −2, 3) 与 b = (3, −6, k) 垂直的 k 的值。

a = (0, −2, 3)b = (3, −6, k)

k =

14.向量：点积和叉积困难

求由 a = (−1, 5, 4) 和 b = (1, −6, −3) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (−1, 5, 4)b = (1, −6, −3)

A =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.25, 0.15, 0.3, 0.3

Var(X) =

16.概率困难

测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.7 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.7

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 51, 20, 50, 14。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值低于 85 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 85

P =

19.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 127.2 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5> 127.2 kg

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 75%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −4

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−4 + (−3)/x² + 6/x³)/(1 + 3/x² + 8/x³)

令 x → ∞

L = −4/1 = −4

答案

L = −4

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 3

洛必达法则

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

代入 x = 0

L = 3/1 = 3

答案

L = 3

3.导数

答案: f′(1) = −2.829

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答案

f′(1) = −2.829

4.导数

答案: x = 5

导数

f′(x) = 3x² − 24x + 45 = 3·(x² − 8x + 15)

解 f′(x) = 0

x = 3 或 x = 5

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 24：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(3) = −6, f″(5) = 6

x = 5

答案

x = 5

5.积分

答案: I = 3.75

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

积分并代入上下限

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3.75

答案

I = 3.75

6.积分

答案: A = 4.5

交点

x² = 3x → x = 0, x = 3

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.3333x³]₀³ = 4.5

答案

A = 4.5

7.复数

答案: b = −2.736

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 8·cos(−20°) = 7.518

b = 8·sin(−20°) = −2.736

直角坐标形式

z = 7.518 − j2.736

b = −2.736

答案

b = −2.736

8.复数

答案: θ₃ = −90 °

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

16^1/4 = 2

根的辐角

θ₃ = (0° + 360°·3)/4 = 270° → −90°

辐角

θ₃ = −90°

答案

θ₃ = −90°

4 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 90°。

9.微分方程

答案: y(1) = 1.105

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

由初值求常数

A + B = 5, −2A − 5B = 0

A = 8.333, B = −3.333

求值

y(1) = 8.333·e⁻² + (−3.333)·e⁻⁵ = 1.105

答案

y(1) = 1.105

10.微分方程

答案: y(0.25) = 0.8308

稳态值与根

y_ss = 2, r = −1 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1A + 4B = 0 → B = −0.5

求值

y(0.25) = 2·(1 − e^−0.25(cos 1 + 0.25·sin 1)) = 0.8308

答案

y(0.25) = 0.8308

11.矩阵与行列式

答案: c₁₁ = 1

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₁ = 0·(−5) + 1·1 = 1

答案

c₁₁ = 1

12.矩阵与行列式

答案: λ = 4

特征方程

λ² − (1)λ + (−12) = 0

求解

λ = (1 ± √(49))/2 → λ = −3, 4

λ = 4

答案

λ = 4

13.向量：点积和叉积

答案: k = −4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 0·3 + (−2)·(−6) + 3·k = 0

12 + 3·k = 0

解出 k

k = −12/3 = −4

答案

k = −4

14.向量：点积和叉积

答案: A = 9.11

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·(−3) − 4·(−6) = 9

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·1 − (−1)·(−3) = 1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·(−6) − 5·1 = 1

面积

A = |a × b| = √(9² + 1² + 1²) = 9.11

答案

A = 9.11

15.概率

答案: Var(X) = 1.327

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.25 + 2·0.15 + 3·0.3 + 4·0.3 = 2.65

平方的均值

E(X²) = 1·0.25 + 4·0.15 + 9·0.3 + 16·0.3 = 8.35

方差

Var(X) = 8.35 − 2.65² = 1.327

答案

Var(X) = 1.327

16.概率

答案: P = 0.03078

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.3⁵ = 0.00243

P(X = 1) = 5·0.7·0.3⁴ = 0.02835

相加

P = 0.00243 + 0.02835 = 0.03078

答案

P = 0.03078

17.描述统计

答案: s = 18.85

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 150/5 = 30

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−15)² + 21² + (−10)² + 20² + (−16)² = 1422

标准差

s = √(1422/4) = 18.85

答案

s = 18.85

18.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 0.8413

答案

P = 0.8413

19.正态分布

答案: P = 0.02442

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

标准化

z = (127.2 − 125)/1.118 = 1.97

概率

P = 1 − Φ(1.97) = 0.02442

答案

P = 0.02442

20.正态分布

答案: x = 110.1 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

换算回 x

x = 100 + 0.6745·15 = 110.12 分

答案

x = 110.12 分

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