工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(4x² − 5x) − 2x)。

f(x) = √(4x² − 5x) − 2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·e^−x。求 f′(2)。

f(x) = x·e^−xx = 2

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = −x² + 5x − 6 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² + 5x − 6x = 3

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

7.复数中等

把 z = 8∠−20° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出实部 a。

r = 8θ = −20°

a =

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = 1 + j 时 z⁷ 的虚部。

z = 1 + jn = 7

Im(z⁷) =

9.微分方程中等

解 y″ + 2y′ + y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 2。求 y(0.5)。

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 2

y(0.5) =

10.微分方程困难

一个水箱装有 400 L 纯水。每升含盐 0.05 kg 的盐水以 20 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 35 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [1 −1 −2; −3 −2 0; −3 2 −3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [2 −4; 6 −8]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (25, −10, 15) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−4, −2, 4) 运动到点 B(−1, 5, −1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (25, −10, 15) NA(−4, −2, 4) mB(−1, 5, −1) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−2, 2, −2)、b = (−4, 1, 5) 和 c = (4, 3, −4)。

a = (−2, 2, −2)b = (−4, 1, 5)c = (4, 3, −4)

V =

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

16.概率困难

一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.25，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 8p = 0.25k = 5

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：45, 43, 16, 60, 50, 31, 38。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 15。数值低于 27.5 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 15x = 27.5

P =

19.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 169.95 和 179.4 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 169.95x₂ = 179.4

P =

20.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.极限

答案: L = −1.25

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −5x/(√(4x² − 5x) + 2x)

除以 x

f(x) = −5/(√(4 + (−5)/x) + 2)

令 x → ∞

L = −5/(2 + 2) = −1.25

答案

L = −1.25

2.极限

答案: L = 0.3333

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 1/3 = 0.3333

答案

L = 0.3333

3.导数

答案: f′(2) = −0.1353

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

代入

f′(2) = 0.1353·(1 + (−2)) = −0.1353

答案

f′(2) = −0.1353

4.导数

答案: b = 3

切点和斜率

f(3) = 0

f′(x) = −2x + 5 → f′(3) = −1

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − (−1)·3 = 3

答案

b = 3

5.积分

答案: I = 156

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

积分并代入上下限

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

答案

I = 156

6.积分

答案: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: a = 7.518

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 8·cos(−20°) = 7.518

b = 8·sin(−20°) = −2.736

直角坐标形式

z = 7.518 − j2.736

a = 7.518

答案

a = 7.518

8.复数

答案: Im(z⁷) = −8

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 + j = √2∠45°

棣莫弗定理

z⁷ = (√2)⁷∠315° = 11.31∠−45°

直角坐标形式

z⁷ = 11.31·(cos −45° + j sin −45°) = 8 − j8

Im(z⁷) = −8

答案

Im(z⁷) = −8

9.微分方程

答案: y(0.5) = 3.336

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 1)² = 0 → r = −1

常数

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 1A → B = 2 + 3 = 5

求值

y(0.5) = (3 + 5·0.5)·e^−0.5 = 3.336

答案

y(0.5) = 3.336

10.微分方程

答案: m = 16.52 kg

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

列方程

dm/dt = 20·0.05 − (20/400)·m = 1 − 0.05·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/20

代入 t

m(35) = 20 + (−20)·0.1738 = 16.52 kg

答案

m = 16.52 kg

11.矩阵与行列式

答案: det A = 39

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 6, M₁₂ = 9, M₁₃ = −12

代数余子式展开

det A = 1·6 − (−1)·9 + (−2)·(−12) = 39

答案

det A = 39

12.矩阵与行列式

答案: λ = −2

特征方程

λ² − (−6)λ + (8) = 0

求解

λ = (−6 ± √(4))/2 → λ = −4, −2

λ = −2

答案

λ = −2

13.向量：点积和叉积

答案: W = −70 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−1, 5, −1) − (−4, −2, 4) = (3, 7, −5) m

功

W = F·d = 25·3 + (−10)·7 + 15·(−5) = −70 J

答案

W = −70 J

负功：力主要与运动方向相反。

14.向量：点积和叉积

答案: V = 78

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·(−4) − 5·3 = −19

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 5·4 − (−4)·(−4) = 4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·3 − 1·4 = −16

与 a 的点积

a·(b × c) = (−2)·(−19) + 2·4 + (−2)·(−16) = 78

V = |78| = 78

答案

V = 78

15.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

16.概率

答案: P = 0.02307

二项分布公式

P(X = 5) = 56·0.25⁵·0.75³ = 56·0.0009766·0.4219 = 0.02307

答案

P = 0.02307

17.描述统计

答案: s = 14.11

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 283/7 = 40.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 4.571² + 2.571² + (−24.43)² + 19.57² + 9.571² + (−9.429)² + (−2.429)² = 1194

标准差

s = √(1194/6) = 14.11

答案

s = 14.11

18.描述统计

答案: P = 0.06681

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 0.06681

答案

P = 0.06681

19.正态分布

答案: P = 0.4542

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (169.95 − 178)/7 = −1.15

z₂ = (179.4 − 178)/7 = 0.2

中间面积

P = Φ(0.2) − Φ(−1.15) = 0.5793 − 0.1251 = 0.4542

答案

P = 0.4542

20.正态分布

答案: P = 0.8849

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

概率

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

答案

P = 0.8849

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics