工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (x² − 5x + 6)/(2x² + 2x + 3)。

f(x) = (x² − 5x + 6)/(2x² + 2x + 3)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x²。

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^0.5x。求 f′(0.5)。

f(x) = x²·e^0.5xx = 0.5

f′(0.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 1.5x² − 6x + 2。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 1.5x² − 6x + 2

x =

5.积分中等

将 y = √(4x) 之下、从 x = 0 到 x = 3 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（抛物面体）的体积 V。

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 3

V =

6.积分困难

计算 I = ∫₀³ x²·eˣ dx。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

图中显示 z = 1 − j3。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = 1 − j3w = 0.5∠−90°

1A (2 − j6)
2B (3 + j)
3C (−6 − j2)
4D (6 + j2)

8.复数困难

n = 6、w = 729∠−90° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 5。求 z₂ 的虚部。

w = 729∠−90°n = 6k = 2

Im(z₂) =

9.微分方程中等

一杯 93 °C 的咖啡放在 22 °C 的房间里。 20 min 后其温度为 34 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 93 °CT_a = 22 °CT(20) = 34 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

一个水箱装有 400 L 纯水。每升含盐 0.1 kg 的盐水以 20 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。多少分钟 t 后水箱中含盐 20 kg？

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0.1 kg/Lr = 20 L/min

t = min

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [4 1 −1; 3 4 −5; 3 4 −3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −2x − 2y = 10 和 −5x + y = −2。求 x。

−2x − 2y = 10−5x + y = −2

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (3, 6, −2) 与 b = (−6, −1, 2) 的点积 a·b。

a = (3, 6, −2)b = (−6, −1, 2)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (5, 0, −5) 和 b = (−4, −6, −5)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (5, 0, −5)b = (−4, −6, −5)

(a × b)_x =

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 2 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 2

P =

16.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.7k = 2

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：48, 26, 37, 28, 33。

n = 5

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 440 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 440

z =

19.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量超过 148.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6> 148.8 kg

P =

20.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.01 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 0.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(1 + (−5)/x + 6/x²)/(2 + 2/x + 3/x²)

令 x → ∞

L = 1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 4.5

第一次应用

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

第二次应用

9·e^3x/2

代入 x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

答案

L = 4.5

3.导数

答案: f′(0.5) = 1.445

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(2x + 0.5·x²)

代入

f′(0.5) = 1.284·(1 + 0.125) = 1.445

答案

f′(0.5) = 1.445

4.导数

答案: x = 2

导数

f′(x) = 3x² − 3x − 6 = 3·(x² − x − 2)

解 f′(x) = 0

x = −1 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 3：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−1) = −9, f″(2) = 9

x = 2

答案

x = 2

5.积分

答案: V = 56.55

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

圆盘法

V = π∫₀³ 4x dx

积分

V = π·4·3²/2 = 56.55

答案

V = 56.55

6.积分

答案: I = 98.43

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答案

I = 98.43

7.复数

答案: D (6 + j2)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = 6 + j2 → D

答案

D (6 + j2)

8.复数

答案: Im(z₂) = 2.898

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

729^1/6 = 3

根的辐角

θ₂ = (−90° + 360°·2)/6 = 105°

直角坐标形式

z₂ = 3·(cos 105° + j sin 105°) = −0.7765 + j2.898

Im(z₂) = 2.898

答案

Im(z₂) = 2.898

6 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 60°。

9.微分方程

答案: k = 0.08889 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−20k = 12/71

解出 k

k = ln(71/12)/20 = 0.08889 min⁻¹

答案

k = 0.08889 min⁻¹

10.微分方程

答案: t = 13.86 min

结果

m(t) = 40 + (−40)·e^−t/20

解出 t

e^−t/20 = (40 − 20)/(40 − 0) = 0.5

t = 20·ln(2) = 13.86 min

答案

t = 13.86 min

11.矩阵与行列式

答案: det A = 26

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 8, M₁₂ = 6, M₁₃ = 0

代数余子式展开

det A = 4·8 − 1·6 + (−1)·0 = 26

答案

det A = 26

12.矩阵与行列式

答案: x = −0.5

系数矩阵的行列式

det A = (−2)·1 − (−2)·(−5) = −12

替换 x 列

det Aₓ = 10·1 − (−2)·(−2) = 6

x = 6/(−12) = −0.5

答案

x = −0.5

y = −4.5

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = −28

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 3·(−6) + 6·(−1) + (−2)·2 = (−18) + (−6) + (−4) = −28

答案

a·b = −28

为负：两向量的夹角大于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = −30

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−5) − (−5)·(−6) = −30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−5)·(−4) − 5·(−5) = 45

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−6) − 0·(−4) = −30

所求分量

(a × b)_x = −30

答案

(a × b)_x = −30

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: P = 0.3056

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)² = 0.6944

P = 1 − 0.6944 = 0.3056

答案

P = 0.3056

16.概率

答案: P = 0.0005305

二项分布公式

P(X = 2) = 55·0.7²·0.3⁹ = 55·0.49·1.968 × 10⁻⁵ = 0.0005305

答案

P = 0.0005305

17.描述统计

答案: s = 8.735

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 172/5 = 34.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 13.6² + (−8.4)² + 2.6² + (−6.4)² + (−1.4)² = 305.2

标准差

s = √(305.2/4) = 8.735

答案

s = 8.735

18.描述统计

答案: z = −1.5

标准化

z = (440 − 500)/40 = −1.5

答案

z = −1.5

19.正态分布

答案: P = 0.8365

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

标准化

z = (148.8 − 150)/1.225 = −0.98

概率

P = 1 − Φ(−0.98) = 0.8365

答案

P = 0.8365

20.正态分布

答案: P = 0.9868

差的分布

μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.01803 mm

标准化

z = (0 − 0.04)/0.01803 = −2.22

概率

P = 1 − Φ(−2.22) = 0.9868

答案

P = 0.9868

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