工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x²。

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(x² + 5)。求 f′(−1)。

f(x) = ln(x² + 5)x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

f(x) = 0.5x² + 2x + 5 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 0.5x² + 2x + 5x = 1

b =

5.积分中等

将 y = 3x 之下、从 x = 0 到 x = 3 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。

y = 3x0 ≤ x ≤ 3

V =

6.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = 4x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = 4x

A =

7.复数中等

求 z = −7 − j6 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −7 − j6

θ = °

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = √3 + j 时 z⁶ 的实部。

z = √3 + jn = 6

Re(z⁶) =

9.微分方程中等

一罐 5 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 23 °C 的房间里。 5 min 后其温度为 11 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 5 °CT_a = 23 °CT(5) = 11 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

解 y″ + 4y′ + 29y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.25)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 29y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.25) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₂（第 2 行，第 2 列）。

A = [−5 −6; 0 −3]B = [−1 −4; −1 −1]

c₂₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [2 1; 3 0]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (2, −2, 4) 与 b = (−1, k, −3) 垂直的 k 的值。

a = (2, −2, 4)b = (−1, k, −3)

k =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (1, 5, −1) 和 b = (−1, 3, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (1, 5, −1)b = (−1, 3, 2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.3, 0.15, 0.2

σ =

16.概率困难

一份测试有 7 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.4k = 3

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 58, 39, 12, 36。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。数值高于 72 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 20x = 72

P =

19.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 30.2 和 44.3 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 30.2x₂ = 44.3

P =

20.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 2.718

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·1 = 1

还原对数

L = e¹ = 2.718

答案

L = 2.718

2.极限

答案: L = 0.5

第一次应用

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

第二次应用

1·e^−x/2

代入 x = 0

L = 1·1/2 = 0.5

答案

L = 0.5

3.导数

答案: f′(−1) = −0.3333

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 2x/(x² + 5)

代入

f′(−1) = −2/6 = −0.3333

答案

f′(−1) = −0.3333

4.导数

答案: b = 4.5

切点和斜率

f(1) = 7.5

f′(x) = x + 2 → f′(1) = 3

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7.5 − 3·1 = 4.5

答案

b = 4.5

5.积分

答案: V = 254.5

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

圆盘法

V = π∫₀³ 9x² dx

积分

V = π·9·3³/3 = 254.5

答案

V = 254.5

检验：半径 9、高 3 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 254.5。

6.积分

答案: A = 42.67

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

0.5x² = 4x → x = 0, x = 8

对上减下积分

A = [2x² − 0.1667x³]₀⁸ = 42.67

答案

A = 42.67

7.复数

答案: θ = −139.4 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −7, b = −6 → III

参考角

α = atan(6/7) = 40.6°

辐角

θ = −(180° − α) = −139.4°

答案

θ = −139.4°

极坐标形式为 z = 9.22∠−139.4°。

8.复数

答案: Re(z⁶) = −64

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = √3 + j = 2∠30°

棣莫弗定理

z⁶ = (2)⁶∠180° = 64∠180°

直角坐标形式

z⁶ = 64·(cos 180° + j sin 180°) = −64

Re(z⁶) = −64

答案

Re(z⁶) = −64

9.微分方程

答案: k = 0.08109 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−5k = -12/-18

解出 k

k = ln(-18/-12)/5 = 0.08109 min⁻¹

答案

k = 0.08109 min⁻¹

10.微分方程

答案: y(0.25) = 1.264

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

复根

r = −2 ± 5j

常数

A = 3, B = 2·3/5 = 1.2

求值

y(0.25) = e^−0.5(3·cos 1.25 + 1.2·sin 1.25) = 1.264

答案

y(0.25) = 1.264

11.矩阵与行列式

答案: c₂₂ = 3

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₂ = 0·(−4) + (−3)·(−1) = 3

答案

c₂₂ = 3

12.矩阵与行列式

答案: λ = 3

特征方程

λ² − (2)λ + (−3) = 0

求解

λ = (2 ± √(16))/2 → λ = −1, 3

λ = 3

答案

λ = 3

13.向量：点积和叉积

答案: k = −7

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

点积等于零

a·b = 2·(−1) + (−2)·k + 4·(−3) = 0

−14 + (−2)·k = 0

解出 k

k = −(−14)/(−2) = −7

答案

k = −7

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.8498

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·2 − (−1)·3 = 13

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−1) − 1·2 = −1

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·3 − 5·(−1) = 8

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(13² + (−1)² + 8²) = 15.3

n̂ = (13, −1, 8)/15.3 = (0.8498, −0.06537, 0.523)

n̂_x = 0.8498

答案

n̂_x = 0.8498

15.概率

答案: σ = 1.122

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.35 + 2·0.3 + 3·0.15 + 4·0.2 = 2.2

平方的均值

E(X²) = 1·0.35 + 4·0.3 + 9·0.15 + 16·0.2 = 6.1

方差

Var(X) = 6.1 − 2.2² = 1.26

σ = √1.26 = 1.122

答案

σ = 1.122

16.概率

答案: P = 0.2903

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 3) = 35·0.4³·0.6⁴ = 35·0.064·0.1296 = 0.2903

答案

P = 0.2903

17.描述统计

答案: s = 17.71

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 166/5 = 33.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.2)² + 24.8² + 5.8² + (−21.2)² + 2.8² = 1255

标准差

s = √(1255/4) = 17.71

答案

s = 17.71

18.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

19.正态分布

答案: P = 0.5977

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (30.2 − 32)/6 = −0.3

z₂ = (44.3 − 32)/6 = 2.05

中间面积

P = Φ(2.05) − Φ(−0.3) = 0.9798 − 0.3821 = 0.5977

答案

P = 0.5977

20.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

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