工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−x³ − 5x − 3)/(5x³ + x + 3)。

f(x) = (−x³ − 5x − 3)/(5x³ + x + 3)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x²。

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (3x + 1)⁵。求 f′(−1)。

f(x) = (3x + 1)⁵x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

f(x) = −x² + 5x − 4 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² + 5x − 4x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀¹ e^−0.5x dx。

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

6.积分困难

将直线 y = 5x 与抛物线 y = 3x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 5xy = 3x²

V =

7.复数中等

把 z = 4∠−155° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 4θ = −155°

b =

8.复数困难

n = 3、w = 27∠−120° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₁ 的实部。

w = 27∠−120°n = 3k = 1

Re(z₁) =

9.微分方程中等

解 y″ + 7y′ + 10y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 4。求 y(1.5)。

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 2y′(0) = 4

y(1.5) =

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + y/x = 6x，x > 0，y(1) = −3。求 y(3)。

y′ + y/x = 6xy(1) = −3

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−1 0 −3; 2 1 4; 5 5 −4]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 2x + 5y = 4 和 −6x + 3y = 4。求 x。

2x + 5y = 4−6x + 3y = 4

x =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−1, −6, −4) 与 b = (5, k, −4) 垂直的 k 的值。

a = (−1, −6, −4)b = (5, k, −4)

k =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (5, −5, −2) 和 b = (−4, −4, 1) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (5, −5, −2)b = (−4, −4, 1)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.1, 0.1, 0.3

σ =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.25 赢得 €15，以概率 0.01 赢得 €150；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€15: p = 0.25€150: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：51, 48, 35, 37, 19。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。数值低于 53.2 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 8x = 53.2

P =

19.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 23.3 和 38.3 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 23.3x₂ = 38.3

P =

20.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 95% 的数据低于它（第 95 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

3溶液

1.极限

答案: L = −0.2

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−1 + (−5)/x² + (−3)/x³)/(5 + 1/x² + 3/x³)

令 x → ∞

L = −1/5 = −0.2

答案

L = −0.2

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 4.5

第一次应用

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

第二次应用

9·e^3x/2

代入 x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

答案

L = 4.5

3.导数

答案: f′(−1) = 240

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

代入

f′(−1) = 5·(−2)⁴·3 = 240

答案

f′(−1) = 240

4.导数

答案: b = −3

切点和斜率

f(−1) = −10

f′(x) = −2x + 5 → f′(−1) = 7

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −10 − 7·(−1) = −3

答案

b = −3

5.积分

答案: I = 0.7869

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

代入上下限

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

答案

I = 0.7869

6.积分

答案: V = 48.48

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

5x = 3x² → x = 0, x = 1.667

垫圈法

V = π∫₀^1.667 ((5x)² − (3x²)²) dx

积分

V = π(25·1.667³/3 − 9·1.667⁵/5) = π·15.43 = 48.48

答案

V = 48.48

7.复数

答案: b = −1.69

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 4·cos(−155°) = −3.625

b = 4·sin(−155°) = −1.69

直角坐标形式

z = −3.625 − j1.69

b = −1.69

答案

b = −1.69

8.复数

答案: Re(z₁) = 0.5209

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

27^1/3 = 3

根的辐角

θ₁ = (−120° + 360°·1)/3 = 80°

直角坐标形式

z₁ = 3·(cos 80° + j sin 80°) = 0.5209 + j2.954

Re(z₁) = 0.5209

答案

Re(z₁) = 0.5209

3 个根位于半径为 3 的圆上，彼此相隔 120°。

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.2309

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

由初值求常数

A + B = 2, −2A − 5B = 4

A = 4.667, B = −2.667

求值

y(1.5) = 4.667·e⁻³ + (−2.667)·e^−7.5 = 0.2309

答案

y(1.5) = 0.2309

10.微分方程

答案: y(3) = 16.33

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

积分

(x¹y)′ = 6x² → x¹y = 6x³/3 + C

初始条件

−3 = 6/3 + C → C = −5

求值

y(3) = (6·3³/3 + (−5))/3¹ = 16.33

答案

y(3) = 16.33

11.矩阵与行列式

答案: det A = 9

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −24, M₁₂ = −28, M₁₃ = 5

代数余子式展开

det A = (−1)·(−24) − 0·(−28) + (−3)·5 = 9

答案

det A = 9

12.矩阵与行列式

答案: x = −0.2222

系数矩阵的行列式

det A = 2·3 − 5·(−6) = 36

替换 x 列

det Aₓ = 4·3 − 5·4 = −8

x = −8/36 = −0.2222

答案

x = −0.2222

y = 0.8889

13.向量：点积和叉积

答案: k = 1.833

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−1)·5 + (−6)·k + (−4)·(−4) = 0

11 + (−6)·k = 0

解出 k

k = −11/(−6) = 1.833

答案

k = 1.833

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.3083

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·1 − (−2)·(−4) = −13

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−4) − 5·1 = 3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·(−4) − (−5)·(−4) = −40

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−13)² + 3² + (−40)²) = 42.17

n̂ = −(−13, 3, −40)/42.17 = (0.3083, −0.07115, 0.9486)

n̂_x = 0.3083

答案

n̂_x = 0.3083

15.概率

答案: σ = 1.682

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.1 + 3·0.1 + 4·0.3 = 1.85

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.1 + 9·0.1 + 16·0.3 = 6.25

方差

Var(X) = 6.25 − 1.85² = 2.827

σ = √2.827 = 1.682

答案

σ = 1.682

16.概率

答案: E(G) = 2.25 €

净结果

G: 12 (p = 0.25), 147 (p = 0.01), −3 (p = 0.74)

期望值

E(G) = 12·0.25 + 147·0.01 − 3·0.74 = 2.25 €

答案

E(G) = 2.25 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 12.65

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 190/5 = 38

离差平方

Σ(x − x̄)² = 13² + 10² + (−3)² + (−1)² + (−19)² = 640

标准差

s = √(640/4) = 12.65

答案

s = 12.65

18.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

19.正态分布

答案: P = 0.7796

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (23.3 − 32)/6 = −1.45

z₂ = (38.3 − 32)/6 = 1.05

中间面积

P = Φ(1.05) − Φ(−1.45) = 0.8531 − 0.07353 = 0.7796

答案

P = 0.7796

20.正态分布

答案: x = 258.2 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.95 → z = 1.645

换算回 x

x = 250 + 1.645·5 = 258.22 g

答案

x = 258.22 g

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