工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(9x² + 8x) − 3x)。

f(x) = √(9x² + 8x) − 3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(3x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(3x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x³·e^0.5x。求 f′(1.5)。

f(x) = x³·e^0.5xx = 1.5

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = 2x² − 2x − 2 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 2x² − 2x − 2x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀³ e^x dx。

f(x) = e^x[0, 3]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

7.复数中等

图中显示 z = −1 − j3。已知 w = 2∠−90°，点选表示 z·w 的点。

z = −1 − j3w = 2∠−90°

1A (−3 + j)
2B (−2 − j6)
3C (6 − j2)
4D (−6 + j2)

8.复数困难

z³ − 6z² + 10z − 8 = 0 的一个根为 z₁ = 1 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 1 + j

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 5y′ + 6y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 1。求 y(1)。

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 3y′(0) = 1

y(1) =

10.微分方程困难

解 y″ + 2y′ + 5y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.5)；角度以弧度为单位。

y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.5) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [6 −5; −1 4]B = [2 6; −3 −1]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 −3; 5 −4]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−6, −3, −3) 与 b = (2, 0, k) 垂直的 k 的值。

a = (−6, −3, −3)b = (2, 0, k)

k =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (4, −5, −2) 和 b = (−4, −1, 0) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (4, −5, −2)b = (−4, −1, 0)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

袋中有 5 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

5 / 7

P =

16.概率困难

测试 9 个元件，每个独立地以概率 0.5 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.5

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：53, 42, 10, 48, 47, 40, 24。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 35.6 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 35.6

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8557。求 z，保留两位小数。

A = 0.8557

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 90% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h90%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = 1.333

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 8x/(√(9x² + 8x) + 3x)

除以 x

f(x) = 8/(√(9 + 8/x) + 3)

令 x → ∞

L = 8/(3 + 3) = 1.333

答案

L = 1.333

2.极限

答案: L = 2.667

第一次应用

4·sin 4x/(6x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/6

代入 x = 0

L = 16/6 = 2.667

答案

L = 2.667

3.导数

答案: f′(1.5) = 17.86

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(3x² + 0.5·x³)

代入

f′(1.5) = 2.117·(6.75 + 1.688) = 17.86

答案

f′(1.5) = 17.86

4.导数

答案: b = −4

切点和斜率

f(−1) = 2

f′(x) = 4x − 2 → f′(−1) = −6

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 2 − (−6)·(−1) = −4

答案

b = −4

5.积分

答案: I = 19.09

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^x/1

代入上下限

I = (e³ − 1)/1 = (20.09 − 1)/1 = 19.09

答案

I = 19.09

6.积分

答案: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: D (−6 + j2)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

该点

z·w = −6 + j2 → D

答案

D (−6 + j2)

8.复数

答案: r = 4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 1 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·1·z + (1² + 1²) = z² − 2z + 2

提取二次因式

z³ − 6z² + 10z − 8 = (z² − 2z + 2)(z − 4)

实根

r = 4

答案

r = 4

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 2 + 4 = 6 = −(−6)。

9.微分方程

答案: y(1) = 1.005

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

由初值求常数

A + B = 3, −2A − 3B = 1

A = 10, B = −7

求值

y(1) = 10·e⁻² + (−7)·e⁻³ = 1.005

答案

y(1) = 1.005

10.微分方程

答案: y(0.5) = 1.166

复根

r = −1 ± 2j

常数

A = 2, B = 1·2/2 = 1

求值

y(0.5) = e^−0.5(2·cos 1 + 1·sin 1) = 1.166

答案

y(0.5) = 1.166

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = 41

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = 6·6 + (−5)·(−1) = 41

答案

c₁₂ = 41

12.矩阵与行列式

答案: λ = 1

特征方程

λ² − (0)λ + (−1) = 0

求解

λ = (0 ± √(4))/2 → λ = −1, 1

λ = 1

答案

λ = 1

13.向量：点积和叉积

答案: k = −4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−6)·2 + (−3)·0 + (−3)·k = 0

−12 + (−3)·k = 0

解出 k

k = −(−12)/(−3) = −4

答案

k = −4

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = 0.07881

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·0 − (−2)·(−1) = −2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−4) − 4·0 = 8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−1) − (−5)·(−4) = −24

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−2)² + 8² + (−24)²) = 25.38

n̂ = −(−2, 8, −24)/25.38 = (0.07881, −0.3152, 0.9457)

n̂_x = 0.07881

答案

n̂_x = 0.07881

15.概率

答案: P = 0.1515

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 5/12 · 4/11 = 20/132 = 0.1515

答案

P = 0.1515

16.概率

答案: P = 0.01953

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.5⁹ = 0.001953

P(X = 1) = 9·0.5·0.5⁸ = 0.01758

相加

P = 0.001953 + 0.01758 = 0.01953

答案

P = 0.01953

17.描述统计

答案: s = 15.3

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 264/7 = 37.71

离差平方

Σ(x − x̄)² = 15.29² + 4.286² + (−27.71)² + 10.29² + 9.286² + 2.286² + (−13.71)² = 1405

标准差

s = √(1405/6) = 15.3

答案

s = 15.3

18.描述统计

答案: P = 0.8849

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答案

P = 0.8849

19.正态分布

答案: z = 1.46

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8557)/2 = 0.9279

反向查 z 表

在表中找到 0.9279，读出 z。

z = 1.46

答案

z = 1.46

20.正态分布

答案: x = 551 h

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 500 + 1.28·40 = 551 h

答案

x = 551 h

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