工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 3x)/(4x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 3x)/(4x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x³·e^−x。求 f′(1)。

f(x) = x³·e^−xx = 1

f′(1) =

4.导数困难

f(x) = 3x² + x + 5 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² + x + 5x = 1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀³ e^−0.5x dx。

f(x) = e^−0.5x[0, 3]

I =

6.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = 2x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = 2x

A =

7.复数中等

图中显示 z = 1 + j2。已知 w = 2∠90°，点选表示 z·w 的点。

z = 1 + j2w = 2∠90°

1A (−4 + j2)
2B (2 + j4)
3C (4 − j2)
4D (−2 + j)

8.复数困难

解 z² − 2z + 2 = 0。根为 a ± jb；求 b > 0。

p = −2q = 2

b =

9.微分方程中等

一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 25 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.07 min⁻¹，求 25 min 后的温度 T。

T₀ = 3 °CT_a = 25 °Ck = 0.07 min⁻¹t = 25 min

T = °C

10.微分方程困难

求解 y′ + 2y = 9e^−t，y(0) = 5。求 y(2)。

y′ + 2y = 9e^−ty(0) = 5

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−5 0 3; −3 3 −3; −5 −5 −2]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −5x + 4y = −10 和 2x − 3y = −2。求 x。

−5x + 4y = −102x − 3y = −2

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−6, 0, 3) 与 b = (−1, −3, 2) 的点积 a·b。

a = (−6, 0, 3)b = (−1, −3, 2)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (6, −3, −2) 和 b = (−5, 0, −6)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (6, −3, −2)b = (−5, 0, −6)

(a × b)_z =

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 3 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 3

P =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.3 赢得 €4，以概率 0.02 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€4: p = 0.3€20: p = 0.02

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：39, 52, 55, 56, 51, 10, 13。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。求成绩 158 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 15x = 158

z =

19.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 10 个的总质量低于 125.1 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 10< 125.1 kg

P =

20.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 90% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分90%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 0.3679

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·(−1) = −1

还原对数

L = e⁻¹ = 0.3679

答案

L = 0.3679

2.极限

答案: L = 1.125

第一次应用

3·sin 3x/(8x) → 0/0

第二次应用

9·cos 3x/8

代入 x = 0

L = 9/8 = 1.125

答案

L = 1.125

3.导数

答案: f′(1) = 0.7358

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(3x² + (−1)·x³)

代入

f′(1) = 0.3679·(3 + (−1)) = 0.7358

答案

f′(1) = 0.7358

4.导数

答案: b = 2

切点和斜率

f(1) = 9

f′(x) = 6x + 1 → f′(1) = 7

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − 7·1 = 2

答案

b = 2

5.积分

答案: I = 1.554

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

代入上下限

I = (e^−1.5 − 1)/(−0.5) = (0.2231 − 1)/(−0.5) = 1.554

答案

I = 1.554

6.积分

答案: A = 5.333

交点

0.5x² = 2x → x = 0, x = 4

对上减下积分

A = [x² − 0.1667x³]₀⁴ = 5.333

答案

A = 5.333

7.复数

答案: A (−4 + j2)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

该点

z·w = −4 + j2 → A

答案

A (−4 + j2)

8.复数

答案: b = 1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 4 − 8 = −4 < 0

求根公式

z = (2 ± j√4)/2 = 1 + j, 1 − j

答案

b = 1

答案

b = 1

9.微分方程

答案: T = 21.18 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 25 + (−22)·e^−0.07t

代入 t

T(25) = 25 + (−22)·0.1738 = 21.18 °C

答案

T = 21.18 °C

10.微分方程

答案: y(2) = 1.145

积分因子

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 9e^t

通解

y = 9/1·e^−t + C·e^−2t = 9·e^−t + C·e^−2t

初始条件

5 = 9 + C → C = −4

求值

y(2) = 9·0.1353 + (−4)·0.01832 = 1.145

答案

y(2) = 1.145

11.矩阵与行列式

答案: det A = 195

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −21, M₁₂ = −9, M₁₃ = 30

代数余子式展开

det A = (−5)·(−21) − 0·(−9) + 3·30 = 195

答案

det A = 195

12.矩阵与行列式

答案: x = 5.429

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·(−3) − 4·2 = 7

替换 x 列

det Aₓ = (−10)·(−3) − 4·(−2) = 38

x = 38/7 = 5.429

答案

x = 5.429

y = 4.286

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = 12

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−6)·(−1) + 0·(−3) + 3·2 = 6 + 0 + 6 = 12

答案

a·b = 12

为正：两向量的夹角小于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = −15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−6) − (−2)·0 = 18

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−5) − 6·(−6) = 46

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·0 − (−3)·(−5) = −15

所求分量

(a × b)_z = −15

答案

(a × b)_z = −15

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: P = 0.4213

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)³ = 0.5787

P = 1 − 0.5787 = 0.4213

答案

P = 0.4213

16.概率

答案: E(G) = 0.6 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 3 (p = 0.3), 19 (p = 0.02), −1 (p = 0.68)

期望值

E(G) = 3·0.3 + 19·0.02 − 1·0.68 = 0.6 €

答案

E(G) = 0.6 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 19.89

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 276/7 = 39.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−0.4286)² + 12.57² + 15.57² + 16.57² + 11.57² + (−29.43)² + (−26.43)² = 2374

标准差

s = √(2374/6) = 19.89

答案

s = 19.89

18.描述统计

答案: z = −0.8

标准化

z = (158 − 170)/15 = −0.8

答案

z = −0.8

19.正态分布

答案: P = 0.9783

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 120 kg, σ_T = 0.8·√10 = 2.53 kg

标准化

z = (125.1 − 120)/2.53 = 2.02

概率

P = Φ(2.02) = 0.9783

答案

P = 0.9783

20.正态分布

答案: x = 77.8 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.9

由表得到的 z

z ≈ 1.28

回到原来的单位

x = 65 + 1.28·10 = 77.8 分

答案

x = 77.8 分

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