工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² + 9x) − x)。

f(x) = √(x² + 9x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(4x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(4x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x³·e^0.5x。求 f′(2)。

f(x) = x³·e^0.5xx = 2

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 3x² − 4。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 3x² − 4

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)¹ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)¹[0, 2]

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = x

A =

7.复数中等

把 z = 9 + j6 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = 9 + j6

θ = rad

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z⁶ = 729∠60° 的根。点选它。

w = 729∠60°n = 6

1A (1.5∠−170°)
2B (3∠60°)
3C (3∠−170°)
4D (3∠−140°)

9.微分方程中等

一杯 80 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.04 min⁻¹，求 30 min 后的温度 T。

T₀ = 80 °CT_a = 21 °Ck = 0.04 min⁻¹t = 30 min

T = °C

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 20y = 40，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [0 2 5; −2 4 2; 0 4 4]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 3x − 5y = 4 和 4x − 6y = 5。求 x。

3x − 5y = 44x − 6y = 5

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−3, 2, −5) 在 b = (−3, −5, −1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−3, 2, −5)b = (−3, −5, −1)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, 3, 2) 和 b = (3, 2, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (2, 3, 2)b = (3, 2, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

袋中有 7 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

7 / 7

P =

16.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.6

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：41, 42, 28, 30, 39, 18。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 12。数值低于 85 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 12x = 85

P =

19.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 53.5 和 80.5 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 53.5x₂ = 80.5

P =

20.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 4.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 9x/(√(x² + 9x) + x)

除以 x

f(x) = 9/(√(1 + 9/x) + 1)

令 x → ∞

L = 9/(1 + 1) = 4.5

答案

L = 4.5

2.极限

答案: L = 0.25

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[4·cos 4x]

代入 x = 0

L = 1/4 = 0.25

答案

L = 0.25

3.导数

答案: f′(2) = 43.49

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^0.5x·(3x² + 0.5·x³)

代入

f′(2) = 2.718·(12 + 4) = 43.49

答案

f′(2) = 43.49

4.导数

答案: x = 2

导数

f′(x) = 3x² − 6x = 3·(x² − 2x)

解 f′(x) = 0

x = 0 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 6：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(0) = −6, f″(2) = 6

x = 2

答案

x = 2

5.积分

答案: I = 12

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u¹ du

积分并代入上下限

I = [u²/2]₁⁵ = (25 − 1)/2 = 12

答案

I = 12

6.积分

答案: A = 0.04167

交点

2x² = x → x = 0, x = 0.5

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

答案

A = 0.04167

7.复数

答案: θ = 0.588 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(81 + 36) = 10.82

以弧度表示的辐角

θ = 33.69° = 33.69·π/180 = 0.588 rad

指数形式

z = 10.82·e^j0.588

答案

θ = 0.588 rad

8.复数

答案: C (3∠−170°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3

θ = 10°, 70°, 130°, −170°, −110°, −50°

该点

C = 3∠−170°

答案

C (3∠−170°)

9.微分方程

答案: T = 38.77 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 21 + 59·e^−0.04t

代入 t

T(30) = 21 + 59·0.3012 = 38.77 °C

答案

T = 38.77 °C

10.微分方程

答案: y_max = 2.416

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 2, r = −2 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −1

峰值

t = π/4 = 0.7854

y_max = 2·(1 + e^−2·π/4) = 2.416

答案

y_max = 2.416

11.矩阵与行列式

答案: det A = −24

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 8, M₁₂ = −8, M₁₃ = −8

代数余子式展开

det A = 0·8 − 2·(−8) + 5·(−8) = −24

答案

det A = −24

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.5

系数矩阵的行列式

det A = 3·(−6) − (−5)·4 = 2

替换 x 列

det Aₓ = 4·(−6) − (−5)·5 = 1

x = 1/2 = 0.5

答案

x = 0.5

y = −0.5

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 0.6761

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−3)·(−3) + 2·(−5) + (−5)·(−1) = 4

b 的长度

|b| = √((−3)² + (−5)² + (−1)²) = 5.916

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 4/5.916 = 0.6761

答案

comp_b a = 0.6761

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.3482

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·2 − 2·2 = 2

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 2·3 − 2·2 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·2 − 3·3 = −5

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(2² + 2² + (−5)²) = 5.745

n̂ = −(2, 2, −5)/5.745 = (−0.3482, −0.3482, 0.8704)

n̂_y = −0.3482

答案

n̂_y = −0.3482

15.概率

答案: P = 0.2308

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0.2308

答案

P = 0.2308

16.概率

答案: P = 0.01884

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.4⁷ = 0.001638

P(X = 1) = 7·0.6·0.4⁶ = 0.0172

相加

P = 0.001638 + 0.0172 = 0.01884

答案

P = 0.01884

17.描述统计

答案: s = 9.381

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 198/6 = 33

离差平方

Σ(x − x̄)² = 8² + 9² + (−5)² + (−3)² + 6² + (−15)² = 440

标准差

s = √(440/5) = 9.381

答案

s = 9.381

18.描述统计

答案: P = 0.8944

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答案

P = 0.8944

19.正态分布

答案: P = 0.8144

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (53.5 − 65)/10 = −1.15

z₂ = (80.5 − 65)/10 = 1.55

中间面积

P = Φ(1.55) − Φ(−1.15) = 0.9394 − 0.1251 = 0.8144

答案

P = 0.8144

20.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

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