工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²。

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ + 6x² + 4。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ + 6x² + 4

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁² 4/x dx。

f(x) = 4/x[1, 2]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

7.复数中等

求 z = −3 − j7 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −3 − j7

θ = °

8.复数困难

z³ + z − 10 = 0 的一个根为 z₁ = −1 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −1 + j2

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 7y′ + 10y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 0。求 y(1.5)。

y″ + 7y′ + 10y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 13y = 130，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 4y′ + 13y = 130y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−3 −2 −1; 5 5 5; 1 −3 2]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [−2 4; −2 4]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (4, −5, 1) 与 b = (−1, 2, 5) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (4, −5, 1)b = (−1, 2, 5)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (30, −60, 30) N 作用在点 A(−2, 0, 1)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的大小 |M|。

F = (30, −60, 30) NA(−2, 0, 1) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

15.概率中等

从 10 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 10k = 3

N =

16.概率困难

一份测试有 11 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 2 题的概率 P 是多少？

n = 11p = 0.4k = 2

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：58, 22, 27, 27, 46。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值低于 177.5 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 5x = 177.5

P =

19.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量低于 148.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 6< 148.8 kg

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的后 80% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 100 分σ = 15 分80%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 7.389

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·2 = 2

还原对数

L = e² = 7.389

答案

L = 7.389

2.极限

答案: L = 1.125

第一次应用

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

2.25·e^1.5x/2

代入 x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

答案

L = 1.125

3.导数

答案: f′(2) = −3.371

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入

f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371

答案

f′(2) = −3.371

4.导数

答案: x = −4

导数

f′(x) = 3x² + 12x = 3·(x² + 4x)

解 f′(x) = 0

x = −4 或 x = 0

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x + 12：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−4) = −12, f″(0) = 12

x = −4

答案

x = −4

5.积分

答案: I = 2.773

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 2 − ln 1) = 4·ln 2 = 2.773

答案

I = 2.773

6.积分

答案: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: θ = −113.2 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −3, b = −7 → III

参考角

α = atan(7/3) = 66.8°

辐角

θ = −(180° − α) = −113.2°

答案

θ = −113.2°

极坐标形式为 z = 7.616∠−113.2°。

8.复数

答案: r = 2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −1 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 2²) = z² + 2z + 5

提取二次因式

z³ + z − 10 = (z² + 2z + 5)(z − 2)

实根

r = 2

答案

r = 2

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −2 + 2 = 0 = −(0)。

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.2478

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 2)(r + 5) = 0 → r = −2, −5

由初值求常数

A + B = 3, −2A − 5B = 0

A = 5, B = −2

求值

y(1.5) = 5·e⁻³ + (−2)·e^−7.5 = 0.2478

答案

y(1.5) = 0.2478

10.微分方程

答案: y_max = 11.23

稳态值与根

y_ss = 10, r = −2 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −6.667

峰值

t = π/3 = 1.047

y_max = 10·(1 + e^−2·π/3) = 11.23

答案

y_max = 11.23

11.矩阵与行列式

答案: det A = −45

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 25, M₁₂ = 5, M₁₃ = −20

代数余子式展开

det A = (−3)·25 − (−2)·5 + (−1)·(−20) = −45

答案

det A = −45

12.矩阵与行列式

答案: λ = 2

特征方程

λ² − (2)λ + (0) = 0

求解

λ = (2 ± √(4))/2 → λ = 0, 2

λ = 2

答案

λ = 2

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 104.7 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 4·(−1) + (−5)·2 + 1·5 = −9

模

|a| = √(4² + (−5)² + 1²) = 6.481

|b| = √((−1)² + 2² + 5²) = 5.477

相角

cos θ = −9/(6.481·5.477) = −0.2535

θ = arccos(−0.2535) = 104.7°

答案

θ = 104.7°

14.向量：点积和叉积

答案: |M| = 161.6 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−2, 0, 1) − (0, 0, 0) = (−2, 0, 1) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 0·30 − 1·(−60) = 60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·30 − (−2)·30 = 90 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−2)·(−60) − 0·30 = 120 N·m

模

|M| = √(60² + 90² + 120²) = 161.6 N·m

答案

|M| = 161.6 N·m

15.概率

答案: N = 120

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(10, 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120

答案

N = 120

16.概率

答案: P = 0.08868

二项分布公式

P(X = 2) = 55·0.4²·0.6⁹ = 55·0.16·0.01008 = 0.08868

答案

P = 0.08868

17.描述统计

答案: s = 15.35

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 180/5 = 36

离差平方

Σ(x − x̄)² = 22² + (−14)² + (−9)² + (−9)² + 10² = 942

标准差

s = √(942/4) = 15.35

答案

s = 15.35

18.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答案

P = 0.9332

19.正态分布

答案: P = 0.1635

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 150 kg, σ_T = 0.5·√6 = 1.225 kg

标准化

z = (148.8 − 150)/1.225 = −0.98

概率

P = Φ(−0.98) = 0.1635

答案

P = 0.1635

20.正态分布

答案: x = 112.6 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.8

由表得到的 z

z ≈ 0.84

回到原来的单位

x = 100 + 0.84·15 = 112.6 分

答案

x = 112.6 分

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