工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² − 5x) − x)。

f(x) = √(x² − 5x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。

f(x) = x·sin(3x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = 3x² + 2 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² + 2x = 3

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

7.复数中等

把 z = −9 − j7 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = −9 − j7

θ = rad

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z⁴ = 81∠120° 的根。点选它。

w = 81∠120°n = 4

1A (3∠165°)
2B (1.5∠120°)
3C (3∠−120°)
4D (3∠120°)

9.微分方程中等

解 y″ + 8y′ + 16y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 4。求 y(0.5)。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(0.5) =

10.微分方程困难

解 y″ + y′ + 16.25y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 16.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.75) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−3 −1 0; 3 0 1; 3 5 −5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 2x − 4y = −12 和 −4x − 3y = −11。求 x。

2x − 4y = −12−4x − 3y = −11

x =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−2, 5, 3) 与 b = (0, 1, k) 垂直的 k 的值。

a = (−2, 5, 3)b = (0, 1, k)

k =

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (2, 4, 0)、b = (5, −5, −3) 和 c = (0, −4, −3)。

a = (2, 4, 0)b = (5, −5, −3)c = (0, −4, −3)

V =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.15, 0.25, 0.25, 0.2

σ =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.25, 0.1, 0.35, 0.3Y = 0.5X + 4

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：47, 31, 15, 33, 31。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 42 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 42

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0465。求 z，保留两位小数。

A = 0.0465

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 30% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h30%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = −2.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −5x/(√(x² − 5x) + x)

除以 x

f(x) = −5/(√(1 + (−5)/x) + 1)

令 x → ∞

L = −5/(1 + 1) = −2.5

答案

L = −2.5

2.极限

答案: L = 12.5

第一次应用

5·sin 5x/(2x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/2

代入 x = 0

L = 25/2 = 12.5

答案

L = 12.5

3.导数

答案: f′(1.5) = −1.926

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(1.5) = −0.9775 + 4.5·(−0.2108) = −1.926

答案

f′(1.5) = −1.926

4.导数

答案: b = −25

切点和斜率

f(3) = 29

f′(x) = 6x → f′(3) = 18

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 29 − 18·3 = −25

答案

b = −25

5.积分

答案: I = 156

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

积分并代入上下限

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

答案

I = 156

6.积分

答案: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: θ = −2.481 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(81 + 49) = 11.4

以弧度表示的辐角

θ = −142.1° = −142.1·π/180 = −2.481 rad

指数形式

z = 11.4·e^−j2.481

答案

θ = −2.481 rad

8.复数

答案: D (3∠120°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3

θ = 30°, 120°, −150°, −60°

该点

D = 3∠120°

答案

D (3∠120°)

9.微分方程

答案: y(0.5) = 0.6767

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

常数

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 4A → B = 4 + 4 = 8

求值

y(0.5) = (1 + 8·0.5)·e⁻² = 0.6767

答案

y(0.5) = 0.6767

10.微分方程

答案: y(0.75) = −1.337

复根

r = −0.5 ± 4j

常数

A = 2, B = 0.5·2/4 = 0.25

求值

y(0.75) = e^−0.375(2·cos 3 + 0.25·sin 3) = −1.337

答案

y(0.75) = −1.337

11.矩阵与行列式

答案: det A = −3

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −5, M₁₂ = −18, M₁₃ = 15

代数余子式展开

det A = (−3)·(−5) − (−1)·(−18) + 0·15 = −3

答案

det A = −3

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.3636

系数矩阵的行列式

det A = 2·(−3) − (−4)·(−4) = −22

替换 x 列

det Aₓ = (−12)·(−3) − (−4)·(−11) = −8

x = −8/(−22) = 0.3636

答案

x = 0.3636

y = 3.182

13.向量：点积和叉积

答案: k = −1.667

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−2)·0 + 5·1 + 3·k = 0

5 + 3·k = 0

解出 k

k = −5/3 = −1.667

答案

k = −1.667

14.向量：点积和叉积

答案: V = 66

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−5)·(−3) − (−3)·(−4) = 3

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·0 − 5·(−3) = 15

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·(−4) − (−5)·0 = −20

与 a 的点积

a·(b × c) = 2·3 + 4·15 + 0·(−20) = 66

V = |66| = 66

答案

V = 66

15.概率

答案: σ = 1.327

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.15 + 1·0.15 + 2·0.25 + 3·0.25 + 4·0.2 = 2.2

平方的均值

E(X²) = 0·0.15 + 1·0.15 + 4·0.25 + 9·0.25 + 16·0.2 = 6.6

方差

Var(X) = 6.6 − 2.2² = 1.76

σ = √1.76 = 1.327

答案

σ = 1.327

16.概率

答案: σ_Y = 1.145

X 的离散程度

μ = 3.4, Var(X) = 5.24, σ_X = 2.289

线性变换

σ_Y = |0.5|·2.289 = 1.145

答案

σ_Y = 1.145

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·3.4 + 4 = 5.7。

17.描述统计

答案: s = 11.35

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 157/5 = 31.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 15.6² + (−0.4)² + (−16.4)² + 1.6² + (−0.4)² = 515.2

标准差

s = √(515.2/4) = 11.35

答案

s = 11.35

18.描述统计

答案: P = 0.2119

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 0.2119

答案

P = 0.2119

19.正态分布

答案: z = 1.68

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.0465 = 0.9535

反向查 z 表

在表中找到 0.9535，读出 z。

z = 1.68

答案

z = 1.68

20.正态分布

答案: x = 479 h

左侧的面积

Φ(z) = 0.3

由表得到的 z

z ≈ −0.52

回到原来的单位

x = 500 − 0.52·40 = 479 h

答案

x = 479 h

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