工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^2x − 1 − 2x)/x²。

f(x) = (e^2x − 1 − 2x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (−2x − 1)⁵。求 f′(2)。

f(x) = (−2x − 1)⁵x = 2

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = −x² − 2x 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² − 2xx = 2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁^1.5 x·ln x dx。

∫₁^1.5 x ln x dx

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = 2x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = 2x

A =

7.复数中等

求 z = −1 + j7 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −1 + j7

θ = °

8.复数困难

z³ + 3z² + 4z + 2 = 0 的一个根为 z₁ = −1 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −1 + j

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 4y′ + 4y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 0。求 y(1)。

y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(1) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 16.25y = 81.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1.5)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 16.25y = 81.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₁（第 1 行，第 1 列）。

A = [2 0; −5 −3]B = [−1 −5; 3 −6]

c₁₁ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −5x − 3y = −2 和 −x + 6y = −7。求 x。

−5x − 3y = −2−x + 6y = −7

x =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−25, −20, 0) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−4, −5, −2) 运动到点 B(0, 2, 1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−25, −20, 0) NA(−4, −5, −2) mB(0, 2, 1) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−5, −1, 0) 和 b = (5, −3, −5) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (−5, −1, 0)b = (5, −3, −5)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

从 10 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 10k = 4

N =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 4。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3Y = 0.5X + 4

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：49, 22, 50, 10, 39, 31, 48。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值高于 55 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 55

P =

19.正态分布中等

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 93.25 和 112.75 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 100σ = 15x₁ = 93.25x₂ = 112.75

P =

20.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 10%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 0.3679

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·(−1) = −1

还原对数

L = e⁻¹ = 0.3679

答案

L = 0.3679

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

(2·e^2x − 2)/(2x) → 0/0

第二次应用

4·e^2x/2

代入 x = 0

L = 4·1/2 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(2) = −6250

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(−2x − 1)⁴·(−2)

代入

f′(2) = 5·(−5)⁴·(−2) = −6250

答案

f′(2) = −6250

4.导数

答案: b = 4

切点和斜率

f(2) = −8

f′(x) = −2x − 2 → f′(2) = −6

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −8 − (−6)·2 = 4

答案

b = 4

5.积分

答案: I = 0.1436

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436

答案

I = 0.1436

6.积分

答案: A = 0.3333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

2x² = 2x → x = 0, x = 1

对上减下积分

A = [x² − 0.6667x³]₀¹ = 0.3333

答案

A = 0.3333

7.复数

答案: θ = 98.13 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −1, b = 7 → II

参考角

α = atan(7/1) = 81.87°

辐角

θ = 180° − α = 98.13°

答案

θ = 98.13°

极坐标形式为 z = 7.071∠98.13°。

8.复数

答案: r = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −1 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−1)·z + ((−1)² + 1²) = z² + 2z + 2

提取二次因式

z³ + 3z² + 4z + 2 = (z² + 2z + 2)(z + 1)

实根

r = −1

答案

r = −1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −2 + (−1) = −3 = −(3)。

9.微分方程

答案: y(1) = 0.406

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 2)² = 0 → r = −2

常数

A = y(0) = 1

y′(0) = B − 2A → B = 0 + 2 = 2

求值

y(1) = (1 + 2·1)·e⁻² = 0.406

答案

y(1) = 0.406

10.微分方程

答案: y(1.5) = 2.815

稳态值与根

y_ss = 5, r = −0.5 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0.5A + 4B = 0 → B = −0.625

求值

y(1.5) = 5·(1 − e^−0.75(cos 6 + 0.125·sin 6)) = 2.815

答案

y(1.5) = 2.815

11.矩阵与行列式

答案: c₁₁ = −2

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₁ = 2·(−1) + 0·3 = −2

答案

c₁₁ = −2

12.矩阵与行列式

答案: x = 1

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·6 − (−3)·(−1) = −33

替换 x 列

det Aₓ = (−2)·6 − (−3)·(−7) = −33

x = −33/(−33) = 1

答案

x = 1

y = −1

13.向量：点积和叉积

答案: W = −240 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (0, 2, 1) − (−4, −5, −2) = (4, 7, 3) m

功

W = F·d = (−25)·4 + (−20)·7 + 0·3 = −240 J

答案

W = −240 J

负功：力主要与运动方向相反。

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.7715

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·(−5) − 0·(−3) = 5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 0·5 − (−5)·(−5) = −25

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−5)·(−3) − (−1)·5 = 20

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √(5² + (−25)² + 20²) = 32.4

n̂ = (5, −25, 20)/32.4 = (0.1543, −0.7715, 0.6172)

n̂_y = −0.7715

答案

n̂_y = −0.7715

15.概率

答案: N = 210

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(10, 4) = (10·9·8·7)/(4·3·2·1) = 210

答案

N = 210

16.概率

答案: σ_Y = 0.4023

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 0.95, Var(X) = 0.6475, σ_X = 0.8047

线性变换

σ_Y = |0.5|·0.8047 = 0.4023

答案

σ_Y = 0.4023

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·0.95 + 4 = 4.475。

17.描述统计

答案: s = 15.35

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 249/7 = 35.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 13.43² + (−13.57)² + 14.43² + (−25.57)² + 3.429² + (−4.571)² + 12.43² = 1414

标准差

s = √(1414/6) = 15.35

答案

s = 15.35

18.描述统计

答案: P = 0.8413

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413

19.正态分布

答案: P = 0.476

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (93.25 − 100)/15 = −0.45

z₂ = (112.75 − 100)/15 = 0.85

中间面积

P = Φ(0.85) − Φ(−0.45) = 0.8023 − 0.3264 = 0.476

答案

P = 0.476

20.正态分布

答案: x = 52.18 分

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分

答案

x = 52.18 分

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