工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (5x³ + 5x − 2)/(3x³ + 4x + 1)。

f(x) = (5x³ + 5x − 2)/(3x³ + 4x + 1)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·e^−x。求 f′(0.5)。

f(x) = x·e^−xx = 0.5

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = x² − 3x − 3 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = x² − 3x − 3x = 3

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁² 4/x dx。

f(x) = 4/x[1, 2]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀² x²·eˣ dx。

∫₀² x²eˣ dx

I =

7.复数中等

数 z = 2.5·e^j2.8 的角度以弧度为单位。求它的实部 a。

r = 2.5θ = 2.8 rad

a =

8.复数困难

解 z² + 8z + 25 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = 8q = 25

a =

9.微分方程中等

一杯 83 °C 的咖啡放在 22 °C 的房间里。 25 min 后其温度为 44 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 32 °C？

T₀ = 83 °CT_a = 22 °CT(25) = 44 °CT = 32 °C

t = min

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 9.25y = 46.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + y′ + 9.25y = 46.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₁（第 1 行，第 1 列）。

A = [6 4; −6 0]B = [1 −2; 2 2]

c₁₁ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 6x − y = −1 和 −5x − 5y = −3。求 x。

6x − y = −1−5x − 5y = −3

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−4, −5, −2) 与 b = (−3, −5, −4) 的点积 a·b。

a = (−4, −5, −2)b = (−3, −5, −4)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−10, 10, −50) N 作用在点 A(3, −4, −3)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (−10, 10, −50) NA(3, −4, −3) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 6 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 6

P =

16.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.4k = 5

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：25, 48, 59, 18, 44。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。数值高于 62 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 20x = 62

P =

19.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量超过 97.1 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 8> 97.1 kg

P =

20.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 90%

x = g

3溶液

1.极限

答案: L = 1.667

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(5 + 5/x² + (−2)/x³)/(3 + 4/x² + 1/x³)

令 x → ∞

L = 5/3 = 1.667

答案

L = 1.667

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

4·sin 4x/(8x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/8

代入 x = 0

L = 16/8 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(0.5) = 0.3033

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−x·(1 + (−1)·x)

代入

f′(0.5) = 0.6065·(1 + (−0.5)) = 0.3033

答案

f′(0.5) = 0.3033

4.导数

答案: b = −12

切点和斜率

f(3) = −3

f′(x) = 2x − 3 → f′(3) = 3

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −3 − 3·3 = −12

答案

b = −12

5.积分

答案: I = 2.773

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 2 − ln 1) = 4·ln 2 = 2.773

答案

I = 2.773

6.积分

答案: I = 12.78

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

答案

I = 12.78

7.复数

答案: a = −2.356

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 2.5·(cos 2.8 + j sin 2.8)

分量（弧度）

a = 2.5·cos 2.8 = −2.356

b = 2.5·sin 2.8 = 0.8375

a = −2.356

答案

a = −2.356

8.复数

答案: a = −4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 64 − 100 = −36 < 0

求根公式

z = (−8 ± j√36)/2 = −4 + j3, −4 − j3

答案

a = −4

答案

a = −4

9.微分方程

答案: t = 44.33 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(61/22)/25 = 0.04079 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(61/10)/0.04079 = 44.33 min

答案

t = 44.33 min

10.微分方程

答案: y_max = 7.962

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 5, r = −0.5 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −0.5A + 3B = 0 → B = −0.8333

峰值

t = π/3 = 1.047

y_max = 5·(1 + e^−0.5·π/3) = 7.962

答案

y_max = 7.962

11.矩阵与行列式

答案: c₁₁ = 14

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₁ = 6·1 + 4·2 = 14

答案

c₁₁ = 14

12.矩阵与行列式

答案: x = −0.05714

系数矩阵的行列式

det A = 6·(−5) − (−1)·(−5) = −35

替换 x 列

det Aₓ = (−1)·(−5) − (−1)·(−3) = 2

x = 2/(−35) = −0.05714

答案

x = −0.05714

y = 0.6571

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = 45

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−4)·(−3) + (−5)·(−5) + (−2)·(−4) = 12 + 25 + 8 = 45

答案

a·b = 45

为正：两向量的夹角小于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: M_y = 180 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (3, −4, −3) − (0, 0, 0) = (3, −4, −3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−50) − (−3)·10 = 230 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−3)·(−10) − 3·(−50) = 180 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·10 − (−4)·(−10) = −10 N·m

所求分量

M_y = 180 N·m

答案

M_y = 180 N·m

15.概率

答案: P = 0.6651

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁶ = 0.3349

P = 1 − 0.3349 = 0.6651

答案

P = 0.6651

16.概率

答案: P = 0.03686

二项分布公式

P(X = 5) = 6·0.4⁵·0.6¹ = 6·0.01024·0.6 = 0.03686

答案

P = 0.03686

17.描述统计

答案: s = 16.9

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 194/5 = 38.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−13.8)² + 9.2² + 20.2² + (−20.8)² + 5.2² = 1143

标准差

s = √(1143/4) = 16.9

答案

s = 16.9

18.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

19.正态分布

答案: P = 0.3121

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 96 kg, σ_T = 0.8·√8 = 2.263 kg

标准化

z = (97.1 − 96)/2.263 = 0.49

概率

P = 1 − Φ(0.49) = 0.3121

答案

P = 0.3121

20.正态分布

答案: x = 256.4 g

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.9 → z = 1.282

换算回 x

x = 250 + 1.282·5 = 256.41 g

答案

x = 256.41 g

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics