工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (6x² + 4x − 1)/(4x² + 2x + 1)。

f(x) = (6x² + 4x − 1)/(4x² + 2x + 1)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^−0.5x。求 f′(1.5)。

f(x) = x²·e^−0.5xx = 1.5

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = x² + 5x + 6 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = x² + 5x + 6x = −2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ x·ln x dx。

∫₁⁵ x ln x dx

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 3x

A =

7.复数中等

图中显示 z = −1 − j3。已知 w = 2∠90°，点选表示 z·w 的点。

z = −1 − j3w = 2∠90°

1A (−6 + j2)
2B (3 − j)
3C (−2 − j6)
4D (6 − j2)

8.复数困难

求 (−1 − j3)⁵ 的实部。

z = −1 − j3n = 5

Re(z⁵) =

9.微分方程中等

一个 360 °C 的钢锻件放在 25 °C 的车间里冷却。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.04 min⁻¹，求 12 min 后的温度 T。

T₀ = 360 °CT_a = 25 °Ck = 0.04 min⁻¹t = 12 min

T = °C

10.微分方程困难

一个水箱装有 1000 L 纯水。每升含盐 0.05 kg 的盐水以 20 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 15 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₂（第 2 行，第 2 列）。

A = [6 3; 6 −3]B = [−3 −4; −6 −5]

c₂₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −5x − y = 5 和 2x − 4y = −8。求 x。

−5x − y = 52x − 4y = −8

x =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (25, 15, −5) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(5, −5, 3) 运动到点 B(−1, 1, 1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (25, 15, −5) NA(5, −5, 3) mB(−1, 1, 1) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (0, −4, −2)、b = (3, 1, 1) 和 c = (−4, 3, −1)。

a = (0, −4, −2)b = (3, 1, 1)c = (−4, 3, −1)

V =

15.概率中等

袋中有 6 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 7

P =

16.概率困难

一份测试有 10 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 10p = 0.5k = 4

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：55, 53, 60, 16, 45, 59。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值低于 487.5 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 25x = 487.5

P =

19.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量低于 729 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9< 729 kg

P =

20.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 95% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分95%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 1.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(6 + 4/x + (−1)/x²)/(4 + 2/x + 1/x²)

令 x → ∞

L = 6/4 = 1.5

答案

L = 1.5

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 1.333

洛必达法则

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 4/3 = 1.333

答案

L = 1.333

3.导数

答案: f′(1.5) = 0.8857

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(2x + (−0.5)·x²)

代入

f′(1.5) = 0.4724·(3 + (−1.125)) = 0.8857

答案

f′(1.5) = 0.8857

4.导数

答案: b = 2

切点和斜率

f(−2) = 0

f′(x) = 2x + 5 → f′(−2) = 1

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 1·(−2) = 2

答案

b = 2

5.积分

答案: I = 14.12

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

答案

I = 14.12

6.积分

答案: A = 4.5

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

x² = 3x → x = 0, x = 3

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.3333x³]₀³ = 4.5

答案

A = 4.5

7.复数

答案: D (6 − j2)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 90°

该点

z·w = 6 − j2 → D

答案

D (6 − j2)

8.复数

答案: Re(z⁵) = −316

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

逐步求幂

z² = (−1 − j3)(−1 − j3) = −8 + j6

z³ = (−8 + j6)(−1 − j3) = 26 + j18

z⁴ = (26 + j18)(−1 − j3) = 28 − j96

z⁵ = (28 − j96)(−1 − j3) = −316 + j12

用棣莫弗定理检验

z = 3.162∠−108.4° → z⁵ = 316.2∠177.8°

Re(z⁵) = −316

答案

Re(z⁵) = −316

9.微分方程

答案: T = 232.3 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 25 + 335·e^−0.04t

代入 t

T(12) = 25 + 335·0.6188 = 232.3 °C

答案

T = 232.3 °C

10.微分方程

答案: m = 12.96 kg

列方程

dm/dt = 20·0.05 − (20/1000)·m = 1 − 0.02·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/50

代入 t

m(15) = 50 + (−50)·0.7408 = 12.96 kg

答案

m = 12.96 kg

11.矩阵与行列式

答案: c₂₂ = −9

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₂ = 6·(−4) + (−3)·(−5) = −9

答案

c₂₂ = −9

12.矩阵与行列式

答案: x = −1.273

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·(−4) − (−1)·2 = 22

替换 x 列

det Aₓ = 5·(−4) − (−1)·(−8) = −28

x = −28/22 = −1.273

答案

x = −1.273

y = 1.364

13.向量：点积和叉积

答案: W = −50 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−1, 1, 1) − (5, −5, 3) = (−6, 6, −2) m

功

W = F·d = 25·(−6) + 15·6 + (−5)·(−2) = −50 J

答案

W = −50 J

负功：力主要与运动方向相反。

14.向量：点积和叉积

答案: V = 22

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 1·(−1) − 1·3 = −4

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 1·(−4) − 3·(−1) = −1

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 3·3 − 1·(−4) = 13

与 a 的点积

a·(b × c) = 0·(−4) + (−4)·(−1) + (−2)·13 = −22

V = |−22| = 22

答案

V = 22

15.概率

答案: P = 0.1923

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923

答案

P = 0.1923

16.概率

答案: P = 0.2051

二项分布公式

P(X = 4) = 210·0.5⁴·0.5⁶ = 210·0.0625·0.01563 = 0.2051

答案

P = 0.2051

17.描述统计

答案: s = 16.57

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 288/6 = 48

离差平方

Σ(x − x̄)² = 7² + 5² + 12² + (−32)² + (−3)² + 11² = 1372

标准差

s = √(1372/5) = 16.57

答案

s = 16.57

18.描述统计

答案: P = 0.3085

标准化

z = −0.5

标准正态分布表

Φ(−0.5) = 0.3085

P = 0.3085

答案

P = 0.3085

19.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

标准化

z = (729 − 765)/36 = −1

概率

P = Φ(−1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

20.正态分布

答案: x = 81.4 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.95

由表得到的 z

z ≈ 1.64

回到原来的单位

x = 65 + 1.64·10 = 81.4 分

答案

x = 81.4 分

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