工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x²。

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(1)。

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.导数困难

f(x) = 3x² − x + 4 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² − x + 4x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₂⁶ 4/x dx。

f(x) = 4/x[2, 6]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

7.复数中等

求 z = −2 + j4 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −2 + j4

θ = °

8.复数困难

解 z² − 6z + 11.25 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = −6q = 11.25

a =

9.微分方程中等

一杯 85 °C 的咖啡放在 18 °C 的房间里。 24 min 后其温度为 51 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 75 °C？

T₀ = 85 °CT_a = 18 °CT(24) = 51 °CT = 75 °C

t = min

10.微分方程困难

一个水箱装有 200 L 水，其中溶有 20 kg 盐。每升含盐 0.05 kg 的盐水以 2 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 90 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 200 Lm₀ = 20 kgc = 0.05 kg/Lr = 2 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [6 1; −1 0]B = [−3 0; 1 −6]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [2 −1; −6 3]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−2, 3, 3) 在 b = (2, −3, 6) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−2, 3, 3)b = (2, −3, 6)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (4, 6, 5) 和 b = (−1, 3, −5)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (4, 6, 5)b = (−1, 3, −5)

(a × b)_x =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.2, 0.05, 0.25

Var(X) =

16.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.1 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：25, 54, 23, 54, 44, 55。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。数值低于 85 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 15x = 85

P =

19.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量超过 198.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 8> 198.6 kg

P =

20.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.02 mm

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 2.718

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·1 = 1

还原对数

L = e¹ = 2.718

答案

L = 2.718

2.极限

答案: L = 4.5

第一次应用

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

第二次应用

9·e^3x/2

代入 x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

答案

L = 4.5

3.导数

答案: f′(1) = −2.829

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答案

f′(1) = −2.829

4.导数

答案: b = 1

切点和斜率

f(−1) = 8

f′(x) = 6x − 1 → f′(−1) = −7

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 8 − (−7)·(−1) = 1

答案

b = 1

5.积分

答案: I = 4.394

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 6 − ln 2) = 4·ln 3 = 4.394

答案

I = 4.394

6.积分

答案: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: θ = 116.6 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −2, b = 4 → II

参考角

α = atan(4/2) = 63.43°

辐角

θ = 180° − α = 116.6°

答案

θ = 116.6°

极坐标形式为 z = 4.472∠116.6°。

8.复数

答案: a = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 36 − 45 = −9 < 0

求根公式

z = (6 ± j√9)/2 = 3 + j1.5, 3 − j1.5

答案

a = 3

答案

a = 3

9.微分方程

答案: t = 5.478 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(67/33)/24 = 0.02951 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(67/57)/0.02951 = 5.478 min

答案

t = 5.478 min

10.微分方程

答案: m = 14.07 kg

列方程

dm/dt = 2·0.05 − (2/200)·m = 0.1 − 0.01·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 10 + 10·e^−t/100

代入 t

m(90) = 10 + 10·0.4066 = 14.07 kg

答案

m = 14.07 kg

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = −6

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = 6·0 + 1·(−6) = −6

答案

c₁₂ = −6

12.矩阵与行列式

答案: λ = 5

特征方程

λ² − (5)λ + (0) = 0

求解

λ = (5 ± √(25))/2 → λ = 0, 5

λ = 5

答案

λ = 5

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = 0.7143

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−2)·2 + 3·(−3) + 3·6 = 5

b 的长度

|b| = √(2² + (−3)² + 6²) = 7

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = 5/7 = 0.7143

答案

comp_b a = 0.7143

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = −45

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−5) − 5·3 = −45

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·(−1) − 4·(−5) = 15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·3 − 6·(−1) = 18

所求分量

(a × b)_x = −45

答案

(a × b)_x = −45

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: Var(X) = 2.51

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.2 + 3·0.05 + 4·0.25 = 1.7

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.2 + 9·0.05 + 16·0.25 = 5.4

方差

Var(X) = 5.4 − 1.7² = 2.51

答案

Var(X) = 2.51

16.概率

答案: P = 0.8503

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.9⁷ = 0.4783

P(X = 1) = 7·0.1·0.9⁶ = 0.372

相加

P = 0.4783 + 0.372 = 0.8503

答案

P = 0.8503

17.描述统计

答案: s = 14.9

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 255/6 = 42.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−17.5)² + 11.5² + (−19.5)² + 11.5² + 1.5² + 12.5² = 1110

标准差

s = √(1110/5) = 14.9

答案

s = 14.9

18.描述统计

答案: P = 0.1587

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587

P = 0.1587

答案

P = 0.1587

19.正态分布

答案: P = 0.8389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 200 kg, σ_T = 0.5·√8 = 1.414 kg

标准化

z = (198.6 − 200)/1.414 = −0.99

概率

P = 1 − Φ(−0.99) = 0.8389

答案

P = 0.8389

20.正态分布

答案: P = 0.8554

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02828 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02828 = −1.06

概率

P = 1 − Φ(−1.06) = 0.8554

答案

P = 0.8554

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