工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 9x² + 24x − 3。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 9x² + 24x − 3

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ 4/x dx。

f(x) = 4/x[1, 5]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀¹ x²·eˣ dx。

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

数 z = 2·e^−j2.5 的角度以弧度为单位。求它的实部 a。

r = 2θ = −2.5 rad

a =

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = −1 + j 时 z⁴ 的实部。

z = −1 + jn = 4

Re(z⁴) =

9.微分方程中等

一罐 6 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 30 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.04 min⁻¹，求 20 min 后的温度 T。

T₀ = 6 °CT_a = 30 °Ck = 0.04 min⁻¹t = 20 min

T = °C

10.微分方程困难

一个水箱装有 1000 L 水，其中溶有 20 kg 盐。每升含盐 0.2 kg 的盐水以 10 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。多少分钟 t 后水箱中含盐 74 kg？

V = 1000 Lm₀ = 20 kgc = 0.2 kg/Lr = 10 L/min

t = min

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₁（第 1 行，第 1 列）。

A = [3 −4; 6 3]B = [−2 6; −3 2]

c₁₁ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 x + y = −3 和 −2x + 5y = −9。求 x。

x + y = −3−2x + 5y = −9

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (6, −6, 5) 与 b = (2, −5, −3) 的点积 a·b。

a = (6, −6, 5)b = (2, −5, −3)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(−1, 4, −2)、B(2, −2, 3)、C(−3, −3, 0) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(−1, 4, −2)B(2, −2, 3)C(−3, −3, 0)

A = m²

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.1, 0.35, 0.35

Var(X) =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €5。你以概率 0.15 赢得 €15，以概率 0.05 赢得 €100；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €5€15: p = 0.15€100: p = 0.05

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：25, 27, 20, 29, 54, 20。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。求成绩 58 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 20x = 58

z =

19.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 49.5 和 80 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 49.5x₂ = 80

P =

20.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 20%

x = g

3溶液

1.极限

答案: L = 0.3679

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·(−1) = −1

还原对数

L = e⁻¹ = 0.3679

答案

L = 0.3679

2.极限

答案: L = 3

洛必达法则

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[cos x]

代入 x = 0

L = 3/1 = 3

答案

L = 3

3.导数

答案: f′(0.5) = 0.9182

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

答案

f′(0.5) = 0.9182

4.导数

答案: x = 4

导数

f′(x) = 3x² − 18x + 24 = 3·(x² − 6x + 8)

解 f′(x) = 0

x = 2 或 x = 4

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(2) = −6, f″(4) = 6

x = 4

答案

x = 4

5.积分

答案: I = 6.438

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 5 − ln 1) = 4·ln 5 = 6.438

答案

I = 6.438

6.积分

答案: I = 0.7183

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

答案

I = 0.7183

7.复数

答案: a = −1.602

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 2·(cos −2.5 + j sin −2.5)

分量（弧度）

a = 2·cos −2.5 = −1.602

b = 2·sin −2.5 = −1.197

a = −1.602

答案

a = −1.602

8.复数

答案: Re(z⁴) = −4

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = −1 + j = √2∠135°

棣莫弗定理

z⁴ = (√2)⁴∠540° = 4∠180°

直角坐标形式

z⁴ = 4·(cos 180° + j sin 180°) = −4

Re(z⁴) = −4

答案

Re(z⁴) = −4

9.微分方程

答案: T = 19.22 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 30 + (−24)·e^−0.04t

代入 t

T(20) = 30 + (−24)·0.4493 = 19.22 °C

答案

T = 19.22 °C

10.微分方程

答案: t = 35.67 min

结果

m(t) = 200 + (−180)·e^−t/100

解出 t

e^−t/100 = (200 − 74)/(200 − 20) = 0.7

t = 100·ln(1.429) = 35.67 min

答案

t = 35.67 min

11.矩阵与行列式

答案: c₁₁ = 6

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₁ = 3·(−2) + (−4)·(−3) = 6

答案

c₁₁ = 6

12.矩阵与行列式

答案: x = −0.8571

系数矩阵的行列式

det A = 1·5 − 1·(−2) = 7

替换 x 列

det Aₓ = (−3)·5 − 1·(−9) = −6

x = −6/7 = −0.8571

答案

x = −0.8571

y = −2.143

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = 27

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 6·2 + (−6)·(−5) + 5·(−3) = 12 + 30 + (−15) = 27

答案

a·b = 27

为正：两向量的夹角小于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: A = 21.64 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (3, −6, 5)

AC = C − A = (−2, −7, 2)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−6)·2 − 5·(−7) = 23

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 5·(−2) − 3·2 = −16

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 3·(−7) − (−6)·(−2) = −33

|AB × AC| = √(23² + (−16)² + (−33)²) = 43.29

三角形的面积

A = ½·43.29 = 21.64 m²

答案

A = 21.64 m²

15.概率

答案: Var(X) = 1.228

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.1 + 2·0.35 + 3·0.35 = 1.85

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.1 + 4·0.35 + 9·0.35 = 4.65

方差

Var(X) = 4.65 − 1.85² = 1.228

答案

Var(X) = 1.228

16.概率

答案: E(G) = 2.25 €

净结果

G: 10 (p = 0.15), 95 (p = 0.05), −5 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 10·0.15 + 95·0.05 − 5·0.8 = 2.25 €

答案

E(G) = 2.25 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 12.7

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 175/6 = 29.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−4.167)² + (−2.167)² + (−9.167)² + (−0.1667)² + 24.83² + (−9.167)² = 806.8

标准差

s = √(806.8/5) = 12.7

答案

s = 12.7

18.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (58 − 50)/20 = 0.4

答案

z = 0.4

19.正态分布

答案: P = 0.8726

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (49.5 − 65)/10 = −1.55

z₂ = (80 − 65)/10 = 1.5

中间面积

P = Φ(1.5) − Φ(−1.55) = 0.9332 − 0.06057 = 0.8726

答案

P = 0.8726

20.正态分布

答案: x = 245.8 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 250 + −0.8416·5 = 245.79 g

答案

x = 245.79 g

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