极限
- 直接代入
- 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
- 因式分解并约去
- xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
- 共轭
- (√x − √a)(√x + √a) = x − a
- 无穷远处的极限
- 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
- 重要极限
- limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
- 洛必达法则
- lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)
工程数学：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
导数
- 幂法则
- (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
- 乘积法则
- (uv)′ = u′v + uv′
- 商法则
- (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
- 链式法则
- f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
- 常用导数
- (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x
方法
- 识别结构：和、积、商还是复合。
- 对 x 的每个幂应用幂法则。
- 需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
- 化简，如有要求再代入该点求值。
积分
- 幂法则
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- 定积分
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- 常用积分
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- 曲线间的面积
- ∫ab (f − g) dx
方法
- 尽可能把被积函数改写为简单项之和。
- 应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 ex、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
- 当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
- 对于定积分，计算 F(b) − F(a)。
复数
- 直角坐标形式
- z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
- 模与辐角
- |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
- 极坐标形式与指数形式
- z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
- 除法
- z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
- 乘积与商
- r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
- 棣莫弗定理
- (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
- n 次方根
- zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
- p² < 4q 的二次方程
- z = −p/2 ± j√(q − p²/4)
方法
- 根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
- 展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
- 用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
- 乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R1/n∠((φ + 360°k)/n)。
微分方程
- 指数增长/衰减
- dy/dt = ky → y = y0ekt
- 半衰期
- k = ln 2 / t½
- 牛顿冷却定律
- T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
- 积分因子
- y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
- 混合槽
- dm/dt = r·c − (r/V)·m
矩阵与行列式
- 2×2 行列式
- det = ad − bc
- 2×2 逆矩阵
- A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
- 产品
- (AB)ij = Σk AikBkj
- 特征值
- det(A − λI) = 0
- 克拉默法则
- xi = det(Ai)/det(A)
向量：点积和叉积
- 模
- |a| = √(ax² + ay² + az²)
- 单位向量
- û = a/|a|
- 由角度求分量
- Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
- 点积
- a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
- a 在 b 上的标量投影
- a·b/|b|
- 功
- W = F·d
- 叉积
- a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
- 面积
- 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
- 对 O 的力矩
- MO = r × F, r = A − O
- 平行六面体的体积
- V = |a·(b × c)|
方法
- 把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
- 求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
- 求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
- 求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。
概率
- 补事件
- P(not A) = 1 − P(A)
- 加法公式
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 独立事件
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- 条件概率
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- 二项分布
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.极限中等
求极限 L = limx→∞ (1 + 1/x)2x。给出小数值。
f(x) = (1 + 1/x)2xx → ∞
L =
2.极限困难
求极限 L = limx→0 (e−x − 1 + x)/x²。
f(x) = (e−x − 1 + x)/x²x → 0
L =
3.导数中等
设 f(x) = x2·ex。求 f′(1.5)。
f(x) = x2·exx = 1.5
f′(1.5) =
4.导数困难
设 f(x) = x3 − 7.5x2 + 18x − 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。
f(x) = x3 − 7.5x2 + 18x − 5
x =
5.积分中等
计算 I = ∫₁4 x·ln x dx。
∫₁4 x ln x dx
I =
6.积分困难
求由 y = x2 和 y = 2x 围成区域的面积 A。
y = x2y = 2x
A =
7.复数中等
求 z = 9 − j4 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。
z = 9 − j4
θ = °
8.复数困难
z³ + 7z² + 19z + 13 = 0 的一个根为 z₁ = −3 + j2。系数为实数。求实根 r。
z₁ = −3 + j2
r =
9.微分方程中等
解 y″ + 8y′ + 16y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = -1。求 y(1.5)。
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = -1
y(1.5) =
10.微分方程困难
一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 20y = 200，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(1)；角度以弧度为单位。
y″ + 4y′ + 20y = 200y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
11.矩阵与行列式中等
求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。
A = [−3 1 −4; 1 5 1; −1 2 5]
det A =
12.矩阵与行列式困难
解方程组 −3x − 3y = 3 和 −4x − 5y = −11。求 x。
−3x − 3y = 3−4x − 5y = −11
x =
13.向量：点积和叉积中等
求 a = (−6, −5, 5) 与 b = (−5, −2, 7) 的点积 a·b。
a = (−6, −5, 5)b = (−5, −2, 7)
a·b =
14.向量：点积和叉积困难
一个力 F = (20, −60, 0) N 作用在点 A(3, −3, −3)。坐标单位为米。 求该力对 点 O(3, 1, 0) 的力矩的 z 分量 Mz。
F = (20, −60, 0) NA(3, −3, −3) mO(3, 1, 0) m
Mz = N·m
15.概率中等
对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.35, 0.15, 0.15, 0.05, 0.3
Var(X) =
16.概率困难
测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？
n = 12p = 0.25
P =
17.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：37, 19, 38, 49, 12, 26。
n = 6
s =
18.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。求成绩 180 的 z 分数 z。
μ = 170σ = 5x = 180
z =
19.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.0367。求 z，保留两位小数。
A = 0.0367
z =
20.正态分布困难
智商分数 服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。拖动截断值，使阴影的前 10% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 100 分σ = 15 分10%
x = 分
3溶液
1.极限
答案: L = 7.389
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
取对数
ln L = limx→∞ 2·x·ln(1 + 1/x)
求值
当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。
ln L = 2·1 = 2
还原对数
L = e2 = 7.389
答案
L = 7.389
2.极限
答案: L = 0.5
极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。
第一次应用
(−1·e−x + 1)/(2x) → 0/0
第二次应用
1·e−x/2
代入 x = 0
L = 1·1/2 = 0.5
答案
L = 0.5
3.导数
答案: f′(1.5) = 23.53
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
乘积法则
f′(x) = u′v + uv′ = ex·(2x + 1·x2)
代入
f′(1.5) = 4.482·(3 + 2.25) = 23.53
答案
f′(1.5) = 23.53
4.导数
答案: x = 3
求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。
导数
f′(x) = 3x2 − 15x + 18 = 3·(x2 − 5x + 6)
解 f′(x) = 0
x = 2 或 x = 3
判断哪个是哪个
f″(x) = 6x − 15：在极大值处为负，在极小值处为正。
f″(2) = −3, f″(3) = 3
x = 3
答案
x = 3
5.积分
答案: I = 7.34
分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。
选取 u 和 dv
u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2
原函数
∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4
极限
(8·ln 4 − 4) − (0 − 0.25) = 7.34
答案
I = 7.34
6.积分
答案: A = 1.333
定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。
交点
x2 = 2x → x = 0, x = 2
对上减下积分
A = [x2 − 0.3333x3]02 = 1.333
答案
A = 1.333
7.复数
答案: θ = −23.96 °
极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。
象限
a = 9, b = −4 → IV
参考角
α = atan(4/9) = 23.96°
辐角
θ = −α = −23.96°
答案
θ = −23.96°
极坐标形式为 z = 9.849∠−23.96°。
8.复数
答案: r = −1
棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。
共轭对
z₂ = −3 − j2
(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13
提取二次因式
z³ + 7z² + 19z + 13 = (z² + 6z + 13)(z + 1)
实根
r = −1
答案
r = −1
用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −6 + (−1) = −7 = −(7)。
9.微分方程
答案: y(1.5) = 0.03098
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
二重根
(r + 4)² = 0 → r = −4
常数
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 4A → B = -1 + 8 = 7
求值
y(1.5) = (2 + 7·1.5)·e−6 = 0.03098
答案
y(1.5) = 0.03098
10.微分方程
答案: y(1) = 11.4
二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = ert：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·er₁t + B·er₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·ert（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 时，ωn 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。
稳态值与根
yss = 10, r = −2 ± 4j
由初值求常数
y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −5
求值
y(1) = 10·(1 − e−2(cos 4 + 0.5·sin 4)) = 11.4
答案
y(1) = 11.4
11.矩阵与行列式
答案: det A = −103
矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。
第一行的 2×2 余子式
M₁₁ = 23, M₁₂ = 6, M₁₃ = 7
代数余子式展开
det A = (−3)·23 − 1·6 + (−4)·7 = −103
答案
det A = −103
12.矩阵与行列式
答案: x = −16
矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。
系数矩阵的行列式
det A = (−3)·(−5) − (−3)·(−4) = 3
替换 x 列
det Aₓ = 3·(−5) − (−3)·(−11) = −48
x = −48/3 = −16
答案
x = −16
y = 15
13.向量：点积和叉积
答案: a·b = 75
点积：a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。
对应分量相乘再相加
a·b = (−6)·(−5) + (−5)·(−2) + 5·7 = 30 + 10 + 35 = 75
答案
a·b = 75
为正：两向量的夹角小于 90°。
14.向量：点积和叉积
答案: Mz = 80 N·m
叉积：a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 MO = r × F，其中 r = A − O。
从 O 到 A 的位置向量
r = A − O = (3, −3, −3) − (3, 1, 0) = (0, −4, −3) m
力矩 M = r × F
(r × F)x = ryFz − rzFy = (−4)·0 − (−3)·(−60) = −180 N·m
(r × F)y = rzFx − rxFz = (−3)·20 − 0·0 = −60 N·m
(r × F)z = rxFy − ryFx = 0·(−60) − (−4)·20 = 80 N·m
所求分量
Mz = 80 N·m
答案
Mz = 80 N·m
15.概率
答案: Var(X) = 2.76
离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σY = |a|·σX；加上常数不会改变离散程度。
平均数
μ = 0·0.35 + 1·0.15 + 2·0.15 + 3·0.05 + 4·0.3 = 1.8
平方的均值
E(X²) = 0·0.35 + 1·0.15 + 4·0.15 + 9·0.05 + 16·0.3 = 6
方差
Var(X) = 6 − 1.8² = 2.76
答案
Var(X) = 2.76
16.概率
答案: P = 0.1584
概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。
零个和一个失效
P(X = 0) = 0.7512 = 0.03168
P(X = 1) = 12·0.25·0.7511 = 0.1267
相加
P = 0.03168 + 0.1267 = 0.1584
答案
P = 0.1584
17.描述统计
答案: s = 13.67
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
平均数
x̄ = 181/6 = 30.17
离差平方
Σ(x − x̄)² = 6.833² + (−11.17)² + 7.833² + 18.83² + (−18.17)² + (−4.167)² = 934.8
标准差
s = √(934.8/5) = 13.67
答案
s = 13.67
18.描述统计
答案: z = 2
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (180 − 170)/5 = 2
答案
z = 2
19.正态分布
答案: z = 1.79
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.0367 = 0.9633
反向查 z 表
在表中找到 0.9633，读出 z。
z = 1.79
答案
z = 1.79
20.正态分布
答案: x = 119.2 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.9
由表得到的 z
z ≈ 1.28
回到原来的单位
x = 100 + 1.28·15 = 119.2 分
答案
x = 119.2 分
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