工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (x² − 5x + 9)/(5x² + 2x + 3)。

f(x) = (x² − 5x + 9)/(5x² + 2x + 3)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(5x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(5x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (3x + 1)⁵。求 f′(2)。

f(x) = (3x + 1)⁵x = 2

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = 2x² − 4x − 5 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 2x² − 4x − 5x = 2

b =

5.积分中等

将 y = 3x 之下、从 x = 0 到 x = 1 的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体（圆锥）的体积 V。

y = 3x0 ≤ x ≤ 1

V =

6.积分困难

求抛物线 y = 1 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 1 − x²

A =

7.复数中等

求 z = −2 − j4 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −2 − j4

θ = °

8.复数困难

z³ − 11z² + 44z − 60 = 0 的一个根为 z₁ = 4 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 4 + j2

r =

9.微分方程中等

一杯 81 °C 的咖啡放在 21 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.12 min⁻¹，求 29 min 后的温度 T。

T₀ = 81 °CT_a = 21 °Ck = 0.12 min⁻¹t = 29 min

T = °C

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 2y′ + 26y = 260，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 2y′ + 26y = 260y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₂（第 2 行，第 2 列）。

A = [−3 −3; 0 −5]B = [6 6; 6 3]

c₂₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 x − 5y = −2 和 −3x + 4y = 5。求 x。

x − 5y = −2−3x + 4y = 5

x =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−5, −6, 5) 与 b = (k, −4, 1) 垂直的 k 的值。

a = (−5, −6, 5)b = (k, −4, 1)

k =

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−4, −1, −5)、b = (−4, 0, 2) 和 c = (4, −3, −1)。

a = (−4, −1, −5)b = (−4, 0, 2)c = (4, −3, −1)

V =

15.概率中等

袋中有 3 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 8

P =

16.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.4 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.4

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：43, 45, 52, 40, 16。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。数值低于 650 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 75x = 650

P =

19.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 108.2 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108.2 s

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 10%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 0.2

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(1 + (−5)/x + 9/x²)/(5 + 2/x + 3/x²)

令 x → ∞

L = 1/5 = 0.2

答案

L = 0.2

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 0.6

洛必达法则

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[5·cos 5x]

代入 x = 0

L = 3/5 = 0.6

答案

L = 0.6

3.导数

答案: f′(2) = 36015

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(3x + 1)⁴·3

代入

f′(2) = 5·7⁴·3 = 36015

答案

f′(2) = 36015

4.导数

答案: b = −13

切点和斜率

f(2) = −5

f′(x) = 4x − 4 → f′(2) = 4

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −5 − 4·2 = −13

答案

b = −13

5.积分

答案: V = 9.425

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

圆盘法

V = π∫₀¹ 9x² dx

积分

V = π·9·1³/3 = 9.425

答案

V = 9.425

检验：半径 3、高 1 的圆锥体积为 (1/3)πr²h = 9.425。

6.积分

答案: A = 1.333

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

1 − x² = 0 → x = ±1

积分

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0.6667 − (−0.6667) = 1.333

答案

A = 1.333

7.复数

答案: θ = −116.6 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −2, b = −4 → III

参考角

α = atan(4/2) = 63.43°

辐角

θ = −(180° − α) = −116.6°

答案

θ = −116.6°

极坐标形式为 z = 4.472∠−116.6°。

8.复数

答案: r = 3

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 4 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·4·z + (4² + 2²) = z² − 8z + 20

提取二次因式

z³ − 11z² + 44z − 60 = (z² − 8z + 20)(z − 3)

实根

r = 3

答案

r = 3

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 8 + 3 = 11 = −(−11)。

9.微分方程

答案: T = 22.85 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 21 + 60·e^−0.12t

代入 t

T(29) = 21 + 60·0.03081 = 22.85 °C

答案

T = 22.85 °C

10.微分方程

答案: y_max = 15.33

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 10, r = −1 ± 5j

由初值求常数

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10

y′(0) = −1A + 5B = 0 → B = −2

峰值

t = π/5 = 0.6283

y_max = 10·(1 + e^−1·π/5) = 15.33

答案

y_max = 15.33

11.矩阵与行列式

答案: c₂₂ = −15

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₂ = 0·6 + (−5)·3 = −15

答案

c₂₂ = −15

12.矩阵与行列式

答案: x = −1.545

系数矩阵的行列式

det A = 1·4 − (−5)·(−3) = −11

替换 x 列

det Aₓ = (−2)·4 − (−5)·5 = 17

x = 17/(−11) = −1.545

答案

x = −1.545

y = 0.09091

13.向量：点积和叉积

答案: k = 5.8

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−5)·k + (−6)·(−4) + 5·1 = 0

29 + (−5)·k = 0

解出 k

k = −29/(−5) = 5.8

答案

k = 5.8

14.向量：点积和叉积

答案: V = 88

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 0·(−1) − 2·(−3) = 6

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 2·4 − (−4)·(−1) = 4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−4)·(−3) − 0·4 = 12

与 a 的点积

a·(b × c) = (−4)·6 + (−1)·4 + (−5)·12 = −88

V = |−88| = 88

答案

V = 88

15.概率

答案: P = 0.05455

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/11 · 2/10 = 6/110 = 0.05455

答案

P = 0.05455

16.概率

答案: P = 0.01959

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.6¹² = 0.002177

P(X = 1) = 12·0.4·0.6¹¹ = 0.01741

相加

P = 0.002177 + 0.01741 = 0.01959

答案

P = 0.01959

17.描述统计

答案: s = 13.7

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 196/5 = 39.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 3.8² + 5.8² + 12.8² + 0.8² + (−23.2)² = 750.8

标准差

s = √(750.8/4) = 13.7

答案

s = 13.7

18.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 0.9772

答案

P = 0.9772

19.正态分布

答案: P = 0.3085

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (108.2 − 105)/6.403 = 0.5

上尾

P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085

答案

P = 0.3085

20.正态分布

答案: x = 80.78 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 100 + −1.282·15 = 80.78 分

答案

x = 80.78 分

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