工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(9x² − 8x) − 3x)。

f(x) = √(9x² − 8x) − 3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (3x − 1)⁴。求 f′(1)。

f(x) = (3x − 1)⁴x = 1

f′(1) =

4.导数困难

f(x) = −x² − 5x + 5 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² − 5x + 5x = 3

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀^π x·cos x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π x·cos x dx

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀² x²·eˣ dx。

∫₀² x²eˣ dx

I =

7.复数中等

求 z = 4 + j8 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 4 + j8

θ = °

8.复数困难

z³ − 11z² + 43z − 65 = 0 的一个根为 z₁ = 3 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 3 + j2

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 8y′ + 16y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 0。求 y(1.5)。

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(1.5) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 8y = 40，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 4y′ + 8y = 40y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 5 1; 4 1 −2; −5 −1 3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −2x + 4y = −11 和 x + y = 4。求 x。

−2x + 4y = −11x + y = 4

x =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (3, 5, −2) 与 b = (−1, −4, −2) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (3, 5, −2)b = (−1, −4, −2)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (−60, 60, 40) N 作用在点 A(1, 1, 0)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (−60, 60, 40) NA(1, 1, 0) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

15.概率中等

袋中有 7 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

7 / 9

P =

16.概率困难

一份测试有 5 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.7，相互独立。恰好答对 3 题的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.7k = 3

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：32, 50, 32, 18, 32, 53, 50。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。数值高于 26 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 20x = 26

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8715。求 z，保留两位小数。

A = 0.8715

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = −1.333

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −8x/(√(9x² − 8x) + 3x)

除以 x

f(x) = −8/(√(9 + (−8)/x) + 3)

令 x → ∞

L = −8/(3 + 3) = −1.333

答案

L = −1.333

2.极限

答案: L = 1.667

洛必达法则

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 5/3 = 1.667

答案

L = 1.667

3.导数

答案: f′(1) = 96

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 4·(3x − 1)³·3

代入

f′(1) = 4·2³·3 = 96

答案

f′(1) = 96

4.导数

答案: b = 14

切点和斜率

f(3) = −19

f′(x) = −2x − 5 → f′(3) = −11

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −19 − (−11)·3 = 14

答案

b = 14

5.积分

答案: I = −2

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原函数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

极限

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

答案

I = −2

6.积分

答案: I = 12.78

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

7.389·(2) − 1·2 = 12.78

答案

I = 12.78

7.复数

答案: θ = 63.43 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 4, b = 8 → I

参考角

α = atan(8/4) = 63.43°

辐角

θ = α = 63.43°

答案

θ = 63.43°

极坐标形式为 z = 8.944∠63.43°。

8.复数

答案: r = 5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 3 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 2²) = z² − 6z + 13

提取二次因式

z³ − 11z² + 43z − 65 = (z² − 6z + 13)(z − 5)

实根

r = 5

答案

r = 5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 6 + 5 = 11 = −(−11)。

9.微分方程

答案: y(1.5) = 0.08676

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 4)² = 0 → r = −4

常数

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 4A → B = 0 + 20 = 20

求值

y(1.5) = (5 + 20·1.5)·e⁻⁶ = 0.08676

答案

y(1.5) = 0.08676

10.微分方程

答案: y_max = 5.216

稳态值与根

y_ss = 5, r = −2 ± 2j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 2B = 0 → B = −5

峰值

t = π/2 = 1.571

y_max = 5·(1 + e^−2·π/2) = 5.216

答案

y_max = 5.216

11.矩阵与行列式

答案: det A = −7

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 1, M₁₂ = 2, M₁₃ = 1

代数余子式展开

det A = 2·1 − 5·2 + 1·1 = −7

答案

det A = −7

12.矩阵与行列式

答案: x = 4.5

系数矩阵的行列式

det A = (−2)·1 − 4·1 = −6

替换 x 列

det Aₓ = (−11)·1 − 4·4 = −27

x = −27/(−6) = 4.5

答案

x = 4.5

y = −0.5

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 132.3 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 3·(−1) + 5·(−4) + (−2)·(−2) = −19

模

|a| = √(3² + 5² + (−2)²) = 6.164

|b| = √((−1)² + (−4)² + (−2)²) = 4.583

相角

cos θ = −19/(6.164·4.583) = −0.6726

θ = arccos(−0.6726) = 132.3°

答案

θ = 132.3°

14.向量：点积和叉积

答案: M_y = −40 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (1, 1, 0) − (0, 0, 0) = (1, 1, 0) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·40 − 0·60 = 40 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−60) − 1·40 = −40 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·60 − 1·(−60) = 120 N·m

所求分量

M_y = −40 N·m

答案

M_y = −40 N·m

15.概率

答案: P = 0.175

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0.175

答案

P = 0.175

16.概率

答案: P = 0.3087

二项分布公式

P(X = 3) = 10·0.7³·0.3² = 10·0.343·0.09 = 0.3087

答案

P = 0.3087

17.描述统计

答案: s = 13.04

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 267/7 = 38.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6.143)² + 11.86² + (−6.143)² + (−20.14)² + (−6.143)² + 14.86² + 11.86² = 1021

标准差

s = √(1021/6) = 13.04

答案

s = 13.04

18.描述统计

答案: P = 0.8849

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151

P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答案

P = 0.8849

19.正态分布

答案: z = 1.52

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8715)/2 = 0.9357

反向查 z 表

在表中找到 0.9357，读出 z。

z = 1.52

答案

z = 1.52

20.正态分布

答案: x = 593.1 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

答案

x = 593.05 h

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