工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(3x² + 2)。求 f′(−2)。

f(x) = ln(3x² + 2)x = −2

f′(−2) =

4.导数困难

f(x) = −x² + 4x − 6 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = −x² + 4x − 6x = 2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₂⁴ 4/x dx。

f(x) = 4/x[2, 4]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀³ x²·eˣ dx。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

图中显示 z = 2 + j4。已知 w = 2∠180°，点选表示 z·w 的点。

z = 2 + j4w = 2∠180°

1A (4 + j8)
2B (−1 − j2)
3C (−2 − j4)
4D (−4 − j8)

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = 1 − j√3 时 z⁶ 的实部。

z = 1 − j√3n = 6

Re(z⁶) =

9.微分方程中等

一杯 88 °C 的咖啡放在 24 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.09 min⁻¹，求 29 min 后的温度 T。

T₀ = 88 °CT_a = 24 °Ck = 0.09 min⁻¹t = 29 min

T = °C

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + y/x = 2x，x > 0，y(1) = 1。求 y(3)。

y′ + y/x = 2xy(1) = 1

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−3 4 4; −5 1 −2; −5 −5 −4]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 6x − y = 8 和 3x − 2y = −5。求 x。

6x − y = 83x − 2y = −5

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−6, −6, −7) 与 b = (6, −4, 6) 的点积 a·b。

a = (−6, −6, −7)b = (6, −4, 6)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (3, 3, −4) 和 b = (−6, −1, 3)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (3, 3, −4)b = (−6, −1, 3)

(a × b)_x =

15.概率中等

袋中有 6 个红球和 7 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 7

P =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 3X + 10。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.35, 0.15, 0.25, 0.25Y = 3X + 10

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：45, 58, 12, 43, 54, 47, 58。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 8。求成绩 162 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 8x = 162

z =

19.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量低于 300.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 12< 300.9 kg

P =

20.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 10%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = 0.04979

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 3·(−1) = −3

还原对数

L = e⁻³ = 0.04979

答案

L = 0.04979

2.极限

答案: L = 3.125

第一次应用

5·sin 5x/(8x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/8

代入 x = 0

L = 25/8 = 3.125

答案

L = 3.125

3.导数

答案: f′(−2) = −0.8571

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 6x/(3x² + 2)

代入

f′(−2) = −12/14 = −0.8571

答案

f′(−2) = −0.8571

4.导数

答案: b = −2

切点和斜率

f(2) = −2

f′(x) = −2x + 4 → f′(2) = 0

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −2 − 0·2 = −2

答案

b = −2

5.积分

答案: I = 2.773

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 4 − ln 2) = 4·ln 2 = 2.773

答案

I = 2.773

6.积分

答案: I = 98.43

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答案

I = 98.43

7.复数

答案: D (−4 − j8)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + 180°

该点

z·w = −4 − j8 → D

答案

D (−4 − j8)

8.复数

答案: Re(z⁶) = 64

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

棣莫弗定理

z⁶ = (2)⁶∠−360° = 64∠0°

直角坐标形式

z⁶ = 64·(cos 0° + j sin 0°) = 64

Re(z⁶) = 64

答案

Re(z⁶) = 64

9.微分方程

答案: T = 28.71 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 24 + 64·e^−0.09t

代入 t

T(29) = 24 + 64·0.07353 = 28.71 °C

答案

T = 28.71 °C

10.微分方程

答案: y(3) = 6.111

积分因子

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

积分

(x¹y)′ = 2x² → x¹y = 2x³/3 + C

初始条件

1 = 2/3 + C → C = 0.3333

求值

y(3) = (2·3³/3 + 0.3333)/3¹ = 6.111

答案

y(3) = 6.111

11.矩阵与行列式

答案: det A = 122

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −14, M₁₂ = 10, M₁₃ = 30

代数余子式展开

det A = (−3)·(−14) − 4·10 + 4·30 = 122

答案

det A = 122

12.矩阵与行列式

答案: x = 2.333

系数矩阵的行列式

det A = 6·(−2) − (−1)·3 = −9

替换 x 列

det Aₓ = 8·(−2) − (−1)·(−5) = −21

x = −21/(−9) = 2.333

答案

x = 2.333

y = 6

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = −54

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = (−6)·6 + (−6)·(−4) + (−7)·6 = (−36) + 24 + (−42) = −54

答案

a·b = −54

为负：两向量的夹角大于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = 5

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 3·3 − (−4)·(−1) = 5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·(−6) − 3·3 = 15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−1) − 3·(−6) = 15

所求分量

(a × b)_x = 5

答案

(a × b)_x = 5

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: P = 0.1923

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/13 · 5/12 = 30/156 = 0.1923

答案

P = 0.1923

16.概率

答案: σ_Y = 3.6

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 1.4, Var(X) = 1.44, σ_X = 1.2

线性变换

σ_Y = |3|·1.2 = 3.6

答案

σ_Y = 3.6

均值确实会改变：E(Y) = 3·1.4 + 10 = 14.2。

17.描述统计

答案: s = 15.89

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 317/7 = 45.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−0.2857)² + 12.71² + (−33.29)² + (−2.286)² + 8.714² + 1.714² + 12.71² = 1515

标准差

s = √(1515/6) = 15.89

答案

s = 15.89

18.描述统计

答案: z = −1

标准化

z = (162 − 170)/8 = −1

答案

z = −1

19.正态分布

答案: P = 0.6985

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 300 kg, σ_T = 0.5·√12 = 1.732 kg

标准化

z = (300.9 − 300)/1.732 = 0.52

概率

P = Φ(0.52) = 0.6985

答案

P = 0.6985

20.正态分布

答案: x = 52.18 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分

答案

x = 52.18 分

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics