工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² + 9x) − x)。

f(x) = √(x² + 9x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(2x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x³·e^−0.5x。求 f′(1.5)。

f(x) = x³·e^−0.5xx = 1.5

f′(1.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 4.5x² + 6x + 5。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 4.5x² + 6x + 5

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² e^0.5x dx。

f(x) = e^0.5x[0, 2]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = x²y = 3x

A =

7.复数中等

图中显示 z = −3 − j2。已知 w = 0.5∠−90°，点选表示 z/w 的点。

z = −3 − j2w = 0.5∠−90°

1A (2 − j3)
2B (−4 + j6)
3C (−6 − j4)
4D (4 − j6)

8.复数困难

解 z² − 3z + 6.25 = 0。根为 a ± jb；求实部 a。

p = −3q = 6.25

a =

9.微分方程中等

解 y″ + 8y′ + 15y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0。求 y(2)。

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(2) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 3y′ + 18.25y = 18.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₁（第 1 行，第 1 列）。

A = [0 3; 2 2]B = [5 3; −5 −4]

c₁₁ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 2x − y = −3 和 x − 5y = 3。求 x。

2x − y = −3x − 5y = 3

x =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (25, −5, −25) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−4, 0, −4) 运动到点 B(0, 4, 4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (25, −5, −25) NA(−4, 0, −4) mB(0, 4, 4) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, −1, −3) 和 b = (−2, −1, 2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (2, −1, −3)b = (−2, −1, 2)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

袋中有 8 个红球和 5 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

8 / 5

P =

16.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.5，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.5k = 1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 33, 13, 42, 43, 23, 38。

n = 7

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。求成绩 103.2 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 8x = 103.2

z =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.2434。求 z，保留两位小数。

A = 0.2434

z =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = 4.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 9x/(√(x² + 9x) + x)

除以 x

f(x) = 9/(√(1 + 9/x) + 1)

令 x → ∞

L = 9/(1 + 1) = 4.5

答案

L = 4.5

2.极限

答案: L = 6.25

第一次应用

5·sin 5x/(4x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/4

代入 x = 0

L = 25/4 = 6.25

答案

L = 6.25

3.导数

答案: f′(1.5) = 2.391

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^−0.5x·(3x² + (−0.5)·x³)

代入

f′(1.5) = 0.4724·(6.75 + (−1.688)) = 2.391

答案

f′(1.5) = 2.391

4.导数

答案: x = 1

导数

f′(x) = 3x² − 9x + 6 = 3·(x² − 3x + 2)

解 f′(x) = 0

x = 1 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 9：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(1) = −3, f″(2) = 3

x = 1

答案

x = 1

5.积分

答案: I = 3.437

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^0.5x/0.5

代入上下限

I = (e¹ − 1)/0.5 = (2.718 − 1)/0.5 = 3.437

答案

I = 3.437

6.积分

答案: A = 4.5

交点

x² = 3x → x = 0, x = 3

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.3333x³]₀³ = 4.5

答案

A = 4.5

7.复数

答案: D (4 − j6)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z/w| = |z|/0.5, arg(z/w) = arg z − (−90)°

该点

z/w = 4 − j6 → D

答案

D (4 − j6)

8.复数

答案: a = 1.5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

判别式

p² − 4q = 9 − 25 = −16 < 0

求根公式

z = (3 ± j√16)/2 = 1.5 + j2, 1.5 − j2

答案

a = 1.5

答案

a = 1.5

9.微分方程

答案: y(2) = 0.01226

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

由初值求常数

A + B = 2, −3A − 5B = 0

A = 5, B = −3

求值

y(2) = 5·e⁻⁶ + (−3)·e⁻¹⁰ = 0.01226

答案

y(2) = 0.01226

10.微分方程

答案: y_max = 1.308

稳态值与根

y_ss = 1, r = −1.5 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1.5A + 4B = 0 → B = −0.375

峰值

t = π/4 = 0.7854

y_max = 1·(1 + e^−1.5·π/4) = 1.308

答案

y_max = 1.308

11.矩阵与行列式

答案: c₁₁ = −15

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₁ = 0·5 + 3·(−5) = −15

答案

c₁₁ = −15

12.矩阵与行列式

答案: x = −2

系数矩阵的行列式

det A = 2·(−5) − (−1)·1 = −9

替换 x 列

det Aₓ = (−3)·(−5) − (−1)·3 = 18

x = 18/(−9) = −2

答案

x = −2

y = −1

13.向量：点积和叉积

答案: W = −120 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (0, 4, 4) − (−4, 0, −4) = (4, 4, 8) m

功

W = F·d = 25·4 + (−5)·4 + (−25)·8 = −120 J

答案

W = −120 J

负功：力主要与运动方向相反。

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = −0.2981

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−1)·2 − (−3)·(−1) = −5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−2) − 2·2 = 2

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−1) − (−1)·(−2) = −4

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−5)² + 2² + (−4)²) = 6.708

n̂ = −(−5, 2, −4)/6.708 = (0.7454, −0.2981, 0.5963)

n̂_y = −0.2981

答案

n̂_y = −0.2981

15.概率

答案: P = 0.359

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 8/13 · 7/12 = 56/156 = 0.359

答案

P = 0.359

16.概率

答案: P = 0.09375

二项分布公式

P(X = 1) = 6·0.5¹·0.5⁵ = 6·0.5·0.03125 = 0.09375

答案

P = 0.09375

17.描述统计

答案: s = 12.57

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 207/7 = 29.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−14.57)² + 3.429² + (−16.57)² + 12.43² + 13.43² + (−6.571)² + 8.429² = 947.7

标准差

s = √(947.7/6) = 12.57

答案

s = 12.57

18.描述统计

答案: z = 0.4

标准化

z = (103.2 − 100)/8 = 0.4

答案

z = 0.4

19.正态分布

答案: z = 0.31

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.2434)/2 = 0.6217

反向查 z 表

在表中找到 0.6217，读出 z。

z = 0.31

答案

z = 0.31

20.正态分布

答案: x = 26.95 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

答案

x = 26.95 min

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