工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(4x² + 5x) − 2x)。

f(x) = √(4x² + 5x) − 2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。

f(x) = x·sin(x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 12x + 3。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 12x + 3

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁^1.5 x·ln x dx。

∫₁^1.5 x ln x dx

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀¹ x²·eˣ dx。

∫₀¹ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

求 z = 7 − j5 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = 7 − j5

θ = °

8.复数困难

n = 3、w = 64∠90° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₀ 的实部。

w = 64∠90°n = 3k = 0

Re(z₀) =

9.微分方程中等

一个 380 °C 的钢锻件放在 24 °C 的车间里冷却。 35 min 后其温度为 201 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 380 °CT_a = 24 °CT(35) = 201 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

一个水箱装有 200 L 纯水。每升含盐 0.1 kg 的盐水以 4 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 90 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0.1 kg/Lr = 4 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−3 0 0; 4 1 −3; 0 −1 −5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −2x + 5y = 11 和 x − 5y = −6。求 x。

−2x + 5y = 11x − 5y = −6

x =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (1, −1, −5) 与 b = (4, k, −4) 垂直的 k 的值。

a = (1, −1, −5)b = (4, k, −4)

k =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (−1, −5, −2) 和 b = (−1, 2, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (−1, −5, −2)b = (−1, 2, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.1, 0.1, 0.25, 0.35

σ =

16.概率困难

一份测试有 9 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.1，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 9p = 0.1k = 1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：56, 11, 18, 58, 28, 16。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 10。数值高于 110 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 10x = 110

P =

19.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 6 个的总质量低于 73 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 6< 73 kg

P =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 97.5%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = 1.25

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 5x/(√(4x² + 5x) + 2x)

除以 x

f(x) = 5/(√(4 + 5/x) + 2)

令 x → ∞

L = 5/(2 + 2) = 1.25

答案

L = 1.25

2.极限

答案: L = 0.3333

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 1/3 = 0.3333

答案

L = 0.3333

3.导数

答案: f′(0.5) = 0.9182

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

代入

f′(0.5) = 0.4794 + 0.5·0.8776 = 0.9182

答案

f′(0.5) = 0.9182

4.导数

答案: x = 2

导数

f′(x) = 3x² − 12 = 3·(x² − 4)

解 f′(x) = 0

x = −2 或 x = 2

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−2) = −12, f″(2) = 12

x = 2

答案

x = 2

5.积分

答案: I = 0.1436

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(1.125·ln 1.5 − 0.5625) − (0 − 0.25) = 0.1436

答案

I = 0.1436

6.积分

答案: I = 0.7183

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

2.718·(1) − 1·2 = 0.7183

答案

I = 0.7183

7.复数

答案: θ = −35.54 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = 7, b = −5 → IV

参考角

α = atan(5/7) = 35.54°

辐角

θ = −α = −35.54°

答案

θ = −35.54°

极坐标形式为 z = 8.602∠−35.54°。

8.复数

答案: Re(z₀) = 3.464

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

64^1/3 = 4

根的辐角

θ₀ = (90° + 360°·0)/3 = 30°

直角坐标形式

z₀ = 4·(cos 30° + j sin 30°) = 3.464 + j2

Re(z₀) = 3.464

答案

Re(z₀) = 3.464

3 个根位于半径为 4 的圆上，彼此相隔 120°。

9.微分方程

答案: k = 0.01997 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−35k = 177/356

解出 k

k = ln(356/177)/35 = 0.01997 min⁻¹

答案

k = 0.01997 min⁻¹

10.微分方程

答案: m = 16.69 kg

列方程

dm/dt = 4·0.1 − (4/200)·m = 0.4 − 0.02·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/50

代入 t

m(90) = 20 + (−20)·0.1653 = 16.69 kg

答案

m = 16.69 kg

11.矩阵与行列式

答案: det A = 24

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −8, M₁₂ = −20, M₁₃ = −4

代数余子式展开

det A = (−3)·(−8) − 0·(−20) + 0·(−4) = 24

答案

det A = 24

12.矩阵与行列式

答案: x = −5

系数矩阵的行列式

det A = (−2)·(−5) − 5·1 = 5

替换 x 列

det Aₓ = 11·(−5) − 5·(−6) = −25

x = −25/5 = −5

答案

x = −5

y = 0.2

13.向量：点积和叉积

答案: k = 24

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = 1·4 + (−1)·k + (−5)·(−4) = 0

24 + (−1)·k = 0

解出 k

k = −24/(−1) = 24

答案

k = 24

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.8944

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−5)·(−2) − (−2)·2 = 14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−2)·(−1) − (−1)·(−2) = 0

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−1)·2 − (−5)·(−1) = −7

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(14² + 0² + (−7)²) = 15.65

n̂ = −(14, 0, −7)/15.65 = (−0.8944, 0, 0.4472)

n̂_x = −0.8944

答案

n̂_x = −0.8944

15.概率

答案: σ = 1.532

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.1 + 2·0.1 + 3·0.25 + 4·0.35 = 2.45

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.1 + 4·0.1 + 9·0.25 + 16·0.35 = 8.35

方差

Var(X) = 8.35 − 2.45² = 2.347

σ = √2.347 = 1.532

答案

σ = 1.532

16.概率

答案: P = 0.3874

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 1) = 9·0.1¹·0.9⁸ = 9·0.1·0.4305 = 0.3874

答案

P = 0.3874

17.描述统计

答案: s = 20.77

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 187/6 = 31.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = 24.83² + (−20.17)² + (−13.17)² + 26.83² + (−3.167)² + (−15.17)² = 2157

标准差

s = √(2157/5) = 20.77

答案

s = 20.77

18.描述统计

答案: P = 0.1587

标准化

z = 1

标准正态分布表

Φ(1) = 0.8413

P = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

19.正态分布

答案: P = 0.695

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 72 kg, σ_T = 0.8·√6 = 1.96 kg

标准化

z = (73 − 72)/1.96 = 0.51

概率

P = Φ(0.51) = 0.695

答案

P = 0.695

20.正态分布

答案: x = 578.4 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 500 + 1.96·40 = 578.4 h

答案

x = 578.4 h

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