工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (6x² − x + 4)/(4x² + 4x + 5)。

f(x) = (6x² − x + 4)/(4x² + 4x + 5)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²。

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x³·e^2x。求 f′(0.5)。

f(x) = x³·e^2xx = 0.5

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = 0.5x² + 4x − 3 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 0.5x² + 4x − 3x = 2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ 4/x dx。

f(x) = 4/x[1, 5]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀³ x²·eˣ dx。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

把 z = 3 − j6 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = 3 − j6

θ = rad

8.复数困难

z³ + 5z² + 17z + 13 = 0 的一个根为 z₁ = −2 + j3。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −2 + j3

r =

9.微分方程中等

一杯 86 °C 的咖啡放在 24 °C 的房间里。 11 min 后其温度为 47 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 33 °C？

T₀ = 86 °CT_a = 24 °CT(11) = 47 °CT = 33 °C

t = min

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + y′ + 16.25y = 16.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.5)；角度以弧度为单位。

y″ + y′ + 16.25y = 16.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.5) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [−4 −4; 3 −6]B = [1 −1; 6 3]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −6x + 5y = 4 和 −5x − 3y = −5。求 x。

−6x + 5y = 4−5x − 3y = −5

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−1, 1, −1) 在 b = (2, −2, 0) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−1, 1, −1)b = (2, −2, 0)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−1, 5, −1)、b = (5, 2, −3) 和 c = (4, −3, −2)。

a = (−1, 5, −1)b = (5, 2, −3)c = (4, −3, −2)

V =

15.概率中等

从 15 人中选出 2 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 15k = 2

N =

16.概率困难

测试 5 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 5p = 0.25

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：14, 36, 28, 35, 32, 24。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。求成绩 42 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 10x = 42

z =

19.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 49 和 67 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 49x₂ = 67

P =

20.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的后 20% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g20%

x = g

3溶液

1.极限

答案: L = 1.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(6 + (−1)/x + 4/x²)/(4 + 4/x + 5/x²)

令 x → ∞

L = 6/4 = 1.5

答案

L = 1.5

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 1.125

第一次应用

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

2.25·e^1.5x/2

代入 x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

答案

L = 1.125

3.导数

答案: f′(0.5) = 2.718

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(3x² + 2·x³)

代入

f′(0.5) = 2.718·(0.75 + 0.25) = 2.718

答案

f′(0.5) = 2.718

4.导数

答案: b = −5

切点和斜率

f(2) = 7

f′(x) = x + 4 → f′(2) = 6

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 7 − 6·2 = −5

答案

b = −5

5.积分

答案: I = 6.438

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 5 − ln 1) = 4·ln 5 = 6.438

答案

I = 6.438

6.积分

答案: I = 98.43

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答案

I = 98.43

7.复数

答案: θ = −1.107 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(9 + 36) = 6.708

以弧度表示的辐角

θ = −63.43° = −63.43·π/180 = −1.107 rad

指数形式

z = 6.708·e^−j1.107

答案

θ = −1.107 rad

8.复数

答案: r = −1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −2 − j3

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−2)·z + ((−2)² + 3²) = z² + 4z + 13

提取二次因式

z³ + 5z² + 17z + 13 = (z² + 4z + 13)(z + 1)

实根

r = −1

答案

r = −1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −4 + (−1) = −5 = −(5)。

9.微分方程

答案: t = 21.41 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(62/23)/11 = 0.09015 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(62/9)/0.09015 = 21.41 min

答案

t = 21.41 min

10.微分方程

答案: y(0.5) = 1.236

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 1, r = −0.5 ± 4j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −0.5A + 4B = 0 → B = −0.125

求值

y(0.5) = 1·(1 − e^−0.25(cos 2 + 0.125·sin 2)) = 1.236

答案

y(0.5) = 1.236

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = −8

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = (−4)·(−1) + (−4)·3 = −8

答案

c₁₂ = −8

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.3023

系数矩阵的行列式

det A = (−6)·(−3) − 5·(−5) = 43

替换 x 列

det Aₓ = 4·(−3) − 5·(−5) = 13

x = 13/43 = 0.3023

答案

x = 0.3023

y = 1.163

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −1.414

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−1)·2 + 1·(−2) + (−1)·0 = −4

b 的长度

|b| = √(2² + (−2)² + 0²) = 2.828

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −4/2.828 = −1.414

答案

comp_b a = −1.414

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

14.向量：点积和叉积

答案: V = 26

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 2·(−2) − (−3)·(−3) = −13

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−3)·4 − 5·(−2) = −2

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 5·(−3) − 2·4 = −23

与 a 的点积

a·(b × c) = (−1)·(−13) + 5·(−2) + (−1)·(−23) = 26

V = |26| = 26

答案

V = 26

15.概率

答案: N = 105

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(15, 2) = (15·14)/(2·1) = 105

答案

N = 105

16.概率

答案: P = 0.6328

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75⁵ = 0.2373

P(X = 1) = 5·0.25·0.75⁴ = 0.3955

相加

P = 0.2373 + 0.3955 = 0.6328

答案

P = 0.6328

17.描述统计

答案: s = 8.256

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 169/6 = 28.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−14.17)² + 7.833² + (−0.1667)² + 6.833² + 3.833² + (−4.167)² = 340.8

标准差

s = √(340.8/5) = 8.256

答案

s = 8.256

18.描述统计

答案: z = −0.8

标准化

z = (42 − 50)/10 = −0.8

答案

z = −0.8

19.正态分布

答案: P = 0.5245

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (49 − 65)/10 = −1.6

z₂ = (67 − 65)/10 = 0.2

中间面积

P = Φ(0.2) − Φ(−1.6) = 0.5793 − 0.0548 = 0.5245

答案

P = 0.5245

20.正态分布

答案: x = 245.8 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 250 − 0.84·5 = 245.8 g

答案

x = 245.8 g

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