工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−2x² − x − 5)/(4x² + 4x + 6)。

f(x) = (−2x² − x − 5)/(4x² + 4x + 6)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 9x² + 15x − 2。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 9x² + 15x − 2

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀¹ e^−0.5x dx。

f(x) = e^−0.5x[0, 1]

I =

6.积分困难

将直线 y = x 与抛物线 y = 0.5x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = xy = 0.5x²

V =

7.复数中等

已知 z₁ = 4∠40° 和 z₂ = 4∠−140°，求 w = z₁·z₂ 的虚部。

z₁ = 4∠40°z₂ = 4∠−140°

Im(w) =

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = −2 − j2 时 z⁹ 的虚部。

z = −2 − j2n = 9

Im(z⁹) =

9.微分方程中等

解 y″ + 5y′ + 6y = 0，其中 y(0) = 4，y′(0) = 4。求 y(1)。

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 4y′(0) = 4

y(1) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 4y′ + 13y = 26，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 4y′ + 13y = 26y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₁（第 2 行，第 1 列）。

A = [6 4; −6 −3]B = [−4 6; −6 1]

c₂₁ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 5x − 2y = 1 和 −6x − 3y = −5。求 x。

5x − 2y = 1−6x − 3y = −5

x =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (25, 0, −5) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−4, 2, −2) 运动到点 B(1, −4, −4)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (25, 0, −5) NA(−4, 2, −2) mB(1, −4, −4) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (60, 50, 20) N 作用在点 A(0, −4, 1)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 y 分量 M_y。

F = (60, 50, 20) NA(0, −4, 1) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

15.概率中等

袋中有 3 个红球和 3 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 3

P =

16.概率困难

测试 12 个元件，每个独立地以概率 0.6 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.6

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：15, 21, 35, 16, 13。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 5。数值高于 66.25 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 5x = 66.25

P =

19.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 759.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759.8 g

P =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = −0.5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−2 + (−1)/x + (−5)/x²)/(4 + 4/x + 6/x²)

令 x → ∞

L = −2/4 = −0.5

答案

L = −0.5

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 12.5

第一次应用

5·sin 5x/(2x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/2

代入 x = 0

L = 25/2 = 12.5

答案

L = 12.5

3.导数

答案: f′(2) = 5.482

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(2) = −0.2794 + 6·0.9602 = 5.482

答案

f′(2) = 5.482

4.导数

答案: x = 1

导数

f′(x) = 3x² − 18x + 15 = 3·(x² − 6x + 5)

解 f′(x) = 0

x = 1 或 x = 5

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 18：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(1) = −12, f″(5) = 12

x = 1

答案

x = 1

5.积分

答案: I = 0.7869

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

代入上下限

I = (e^−0.5 − 1)/(−0.5) = (0.6065 − 1)/(−0.5) = 0.7869

答案

I = 0.7869

6.积分

答案: V = 3.351

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

1x = 0.5x² → x = 0, x = 2

垫圈法

V = π∫₀² ((1x)² − (0.5x²)²) dx

积分

V = π(1·2³/3 − 0.25·2⁵/5) = π·1.067 = 3.351

答案

V = 3.351

7.复数

答案: Im(w) = −15.76

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 · 4 = 16

θ = 40° + (−140)° = −100°

直角坐标形式

Re(w) = 16·cos(−100°) = −2.778

Im(w) = 16·sin(−100°) = −15.76

Im(w) = −15.76

答案

Im(w) = −15.76

8.复数

答案: Im(z⁹) = −8192

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = −2 − j2 = 2√2∠−135°

棣莫弗定理

z⁹ = (2√2)⁹∠−1215° = 11585∠−135°

直角坐标形式

z⁹ = 11585·(cos −135° + j sin −135°) = −8192 − j8192

Im(z⁹) = −8192

答案

Im(z⁹) = −8192

9.微分方程

答案: y(1) = 1.568

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

由初值求常数

A + B = 4, −2A − 3B = 4

A = 16, B = −12

求值

y(1) = 16·e⁻² + (−12)·e⁻³ = 1.568

答案

y(1) = 1.568

10.微分方程

答案: y_max = 2.246

稳态值与根

y_ss = 2, r = −2 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −1.333

峰值

t = π/3 = 1.047

y_max = 2·(1 + e^−2·π/3) = 2.246

答案

y_max = 2.246

11.矩阵与行列式

答案: c₂₁ = 42

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₁ = (−6)·(−4) + (−3)·(−6) = 42

答案

c₂₁ = 42

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.4815

系数矩阵的行列式

det A = 5·(−3) − (−2)·(−6) = −27

替换 x 列

det Aₓ = 1·(−3) − (−2)·(−5) = −13

x = −13/(−27) = 0.4815

答案

x = 0.4815

y = 0.7037

13.向量：点积和叉积

答案: W = 135 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (1, −4, −4) − (−4, 2, −2) = (5, −6, −2) m

功

W = F·d = 25·5 + 0·(−6) + (−5)·(−2) = 135 J

答案

W = 135 J

14.向量：点积和叉积

答案: M_y = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (0, −4, 1) − (0, 0, 0) = (0, −4, 1) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·20 − 1·50 = −130 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 1·60 − 0·20 = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 0·50 − (−4)·60 = 240 N·m

所求分量

M_y = 60 N·m

答案

M_y = 60 N·m

15.概率

答案: P = 0.2

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/6 · 2/5 = 6/30 = 0.2

答案

P = 0.2

16.概率

答案: P = 0.0003188

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.4¹² = 1.678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0.6·0.4¹¹ = 0.000302

相加

P = 1.678 × 10⁻⁵ + 0.000302 = 0.0003188

答案

P = 0.0003188

17.描述统计

答案: s = 8.888

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 100/5 = 20

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−5)² + 1² + 15² + (−4)² + (−7)² = 316

标准差

s = √(316/4) = 8.888

答案

s = 8.888

18.描述统计

答案: P = 0.1056

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056

19.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (759.8 − 750)/9.849 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

20.正态分布

答案: x = 36.05 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745

换算回 x

x = 32 + 0.6745·6 = 36.05 min

答案

x = 36.05 min

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