工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(9x² − 8x) − 3x)。

f(x) = √(9x² − 8x) − 3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x²。

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (4x + 1)³。求 f′(2)。

f(x) = (4x + 1)³x = 2

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = 3x² − 5x + 4 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² − 5x + 4x = 3

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀^π/2 x·sin x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π/2 x·sin x dx

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = x

A =

7.复数中等

已知 z₁ = 4∠55° 和 z₂ = 3∠−50°，求 w = z₁·z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 4∠55°z₂ = 3∠−50°

θ = °

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 8∠120° 的根。点选它。

w = 8∠120°n = 3

1A (2∠160°)
2B (2∠120°)
3C (2∠−170°)
4D (3.6∠160°)

9.微分方程中等

一罐 4 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 25 °C 的房间里。 16 min 后其温度为 16 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 10 °C？

T₀ = 4 °CT_a = 25 °CT(16) = 16 °CT = 10 °C

t = min

10.微分方程困难

一个水箱装有 100 L 纯水。每升含盐 0.05 kg 的盐水以 20 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 10 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [0 4; 5 −6]B = [6 6; −2 1]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 1; −2 7]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−5, −2, 2) 与 b = (0, 3, k) 垂直的 k 的值。

a = (−5, −2, 2)b = (0, 3, k)

k =

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−3, 2, −3)、b = (−3, −3, 0) 和 c = (−4, 0, −4)。

a = (−3, 2, −3)b = (−3, −3, 0)c = (−4, 0, −4)

V =

15.概率中等

袋中有 3 个红球和 9 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

3 / 9

P =

16.概率困难

一份测试有 12 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.2，相互独立。恰好答对 5 题的概率 P 是多少？

n = 12p = 0.2k = 5

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：45, 50, 53, 59, 36, 18, 56。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 8。数值高于 38 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 8x = 38

P =

19.正态分布中等

X 服从均值 60 s、标准差 5 s 的正态分布；Y 独立，服从均值 45 s、标准差 4 s 的正态分布。求 X + Y 大于 108.2 s 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 108.2 s

P =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 20%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = −1.333

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = −8x/(√(9x² − 8x) + 3x)

除以 x

f(x) = −8/(√(9 + (−8)/x) + 3)

令 x → ∞

L = −8/(3 + 3) = −1.333

答案

L = −1.333

2.极限

答案: L = 4.5

第一次应用

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

第二次应用

9·e^3x/2

代入 x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

答案

L = 4.5

3.导数

答案: f′(2) = 972

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 3·(4x + 1)²·4

代入

f′(2) = 3·9²·4 = 972

答案

f′(2) = 972

4.导数

答案: b = −23

切点和斜率

f(3) = 16

f′(x) = 6x − 5 → f′(3) = 13

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 16 − 13·3 = −23

答案

b = −23

5.积分

答案: I = 1

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原函数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

极限

(−π/2·cos π/2 + sin π/2) − (0 + 0) = 1

答案

I = 1

6.积分

答案: A = 0.04167

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

交点

2x² = x → x = 0, x = 0.5

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.6667x³]₀^0.5 = 0.04167

答案

A = 0.04167

7.复数

答案: θ = 5 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 · 3 = 12

θ = 55° + (−50)° = 5°

辐角

θ = 5°

答案

θ = 5°

8.复数

答案: A (2∠160°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2

θ = 40°, 160°, −80°

该点

A = 2∠160°

答案

A (2∠160°)

9.微分方程

答案: t = 6.354 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(-21/-9)/16 = 0.05296 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(-21/(−15))/0.05296 = 6.354 min

答案

t = 6.354 min

10.微分方程

答案: m = 4.323 kg

列方程

dm/dt = 20·0.05 − (20/100)·m = 1 − 0.2·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 5 + (−5)·e^−t/5

代入 t

m(10) = 5 + (−5)·0.1353 = 4.323 kg

答案

m = 4.323 kg

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = 4

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = 0·6 + 4·1 = 4

答案

c₁₂ = 4

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (11)λ + (30) = 0

求解

λ = (11 ± √(1))/2 → λ = 5, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: k = 3

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−5)·0 + (−2)·3 + 2·k = 0

−6 + 2·k = 0

解出 k

k = −(−6)/2 = 3

答案

k = 3

14.向量：点积和叉积

答案: V = 24

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−3)·(−4) − 0·0 = 12

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 0·(−4) − (−3)·(−4) = −12

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = (−3)·0 − (−3)·(−4) = −12

与 a 的点积

a·(b × c) = (−3)·12 + 2·(−12) + (−3)·(−12) = −24

V = |−24| = 24

答案

V = 24

15.概率

答案: P = 0.04545

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 3/12 · 2/11 = 6/132 = 0.04545

答案

P = 0.04545

16.概率

答案: P = 0.05315

二项分布公式

P(X = 5) = 792·0.2⁵·0.8⁷ = 792·0.00032·0.2097 = 0.05315

答案

P = 0.05315

17.描述统计

答案: s = 14.23

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 317/7 = 45.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−0.2857)² + 4.714² + 7.714² + 13.71² + (−9.286)² + (−27.29)² + 10.71² = 1215

标准差

s = √(1215/6) = 14.23

答案

s = 14.23

18.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

19.正态分布

答案: P = 0.3085

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6.403 s

标准化

z = (108.2 − 105)/6.403 = 0.5

上尾

P = 1 − Φ(0.5) = 1 − 0.6915 = 0.3085

答案

P = 0.3085

20.正态分布

答案: x = 26.95 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 32 + −0.8416·6 = 26.95 min

答案

x = 26.95 min

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