工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (4x + 5)⁵。求 f′(0)。

f(x) = (4x + 5)⁵x = 0

f′(0) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 4.5x² + 5。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 4.5x² + 5

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ x·ln x dx。

∫₁⁵ x ln x dx

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 9 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 9 − x²

A =

7.复数中等

把 z = −9 − j3 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = −9 − j3

θ = rad

8.复数困难

z³ − z² − 5z + 125 = 0 的一个根为 z₁ = 3 + j4。系数为实数。求实根 r。

z₁ = 3 + j4

r =

9.微分方程中等

一个 300 °C 的钢锻件放在 30 °C 的车间里冷却。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.01 min⁻¹，求 32 min 后的温度 T。

T₀ = 300 °CT_a = 30 °Ck = 0.01 min⁻¹t = 32 min

T = °C

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 6.25y = 31.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求其阶跃响应的峰值 y_max。

y″ + 3y′ + 6.25y = 31.25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [5 4 −4; 0 5 5; 0 5 −2]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −5x − y = −1 和 x + 3y = −10。求 x。

−5x − y = −1x + 3y = −10

x =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (5, 3, −3) 与 b = (−2, 2, −6) 的点积 a·b。

a = (5, 3, −3)b = (−2, 2, −6)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

求由 a = (4, −2, 3) 和 b = (4, −4, 6) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (4, −2, 3)b = (4, −4, 6)

A =

15.概率中等

从 9 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 3

N =

16.概率困难

测试 8 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 8p = 0.25

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：13, 33, 41, 40, 36, 60。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 44 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 5x = 44

z =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.7123。求 z，保留两位小数。

A = 0.7123

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = 0.1353

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 2·(−1) = −2

还原对数

L = e⁻² = 0.1353

答案

L = 0.1353

2.极限

答案: L = 8

第一次应用

4·sin 4x/(2x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/2

代入 x = 0

L = 16/2 = 8

答案

L = 8

3.导数

答案: f′(0) = 12500

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(4x + 5)⁴·4

代入

f′(0) = 5·5⁴·4 = 12500

答案

f′(0) = 12500

4.导数

答案: x = 3

导数

f′(x) = 3x² − 9x = 3·(x² − 3x)

解 f′(x) = 0

x = 0 或 x = 3

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 9：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(0) = −9, f″(3) = 9

x = 3

答案

x = 3

5.积分

答案: I = 14.12

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

原函数

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

极限

(12.5·ln 5 − 6.25) − (0 − 0.25) = 14.12

答案

I = 14.12

6.积分

答案: A = 36

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

积分

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答案

A = 36

7.复数

答案: θ = −2.82 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(81 + 9) = 9.487

以弧度表示的辐角

θ = −161.6° = −161.6·π/180 = −2.82 rad

指数形式

z = 9.487·e^−j2.82

答案

θ = −2.82 rad

8.复数

答案: r = −5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = 3 − j4

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·3·z + (3² + 4²) = z² − 6z + 25

提取二次因式

z³ − z² − 5z + 125 = (z² − 6z + 25)(z + 5)

实根

r = −5

答案

r = −5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = 6 + (−5) = 1 = −(−1)。

9.微分方程

答案: T = 226.1 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 30 + 270·e^−0.01t

代入 t

T(32) = 30 + 270·0.7261 = 226.1 °C

答案

T = 226.1 °C

10.微分方程

答案: y_max = 5.474

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

稳态值与根

y_ss = 5, r = −1.5 ± 2j

由初值求常数

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1.5A + 2B = 0 → B = −3.75

峰值

t = π/2 = 1.571

y_max = 5·(1 + e^−1.5·π/2) = 5.474

答案

y_max = 5.474

11.矩阵与行列式

答案: det A = −175

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −35, M₁₂ = 0, M₁₃ = 0

代数余子式展开

det A = 5·(−35) − 4·0 + (−4)·0 = −175

答案

det A = −175

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.9286

系数矩阵的行列式

det A = (−5)·3 − (−1)·1 = −14

替换 x 列

det Aₓ = (−1)·3 − (−1)·(−10) = −13

x = −13/(−14) = 0.9286

答案

x = 0.9286

y = −3.643

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = 14

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 5·(−2) + 3·2 + (−3)·(−6) = (−10) + 6 + 18 = 14

答案

a·b = 14

为正：两向量的夹角小于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: A = 14.42

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·6 − 3·(−4) = 0

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 3·4 − 4·6 = −12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 4·(−4) − (−2)·4 = −8

面积

A = |a × b| = √(0² + (−12)² + (−8)²) = 14.42

答案

A = 14.42

15.概率

答案: N = 84

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

答案

N = 84

16.概率

答案: P = 0.3671

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75⁸ = 0.1001

P(X = 1) = 8·0.25·0.75⁷ = 0.267

相加

P = 0.1001 + 0.267 = 0.3671

答案

P = 0.3671

17.描述统计

答案: s = 15.14

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 223/6 = 37.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−24.17)² + (−4.167)² + 3.833² + 2.833² + (−1.167)² + 22.83² = 1147

标准差

s = √(1147/5) = 15.14

答案

s = 15.14

18.描述统计

答案: z = −1.2

标准化

z = (44 − 50)/5 = −1.2

答案

z = −1.2

19.正态分布

答案: z = −0.56

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.7123 = 0.2877

反向查 z 表

在表中找到 0.2877，读出 z。

z = −0.56

答案

z = −0.56

20.正态分布

答案: x = 473 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h

答案

x = 473.02 h

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