工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x。给出小数值。

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 5x)/sin(2x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 5x)/sin(2x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x²·e^2x。求 f′(1)。

f(x) = x²·e^2xx = 1

f′(1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ + 4.5x² + 6x − 1。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ + 4.5x² + 6x − 1

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀^π/3 x·sin x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π/3 x·sin x dx

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 9 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 9 − x²

A =

7.复数中等

已知 z₁ = 2.5∠100° 和 z₂ = 3∠−95°，求 w = z₁/z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 2.5∠100°z₂ = 3∠−95°

θ = °

8.复数困难

z³ − z² − 12z − 40 = 0 的一个根为 z₁ = −2 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −2 + j2

r =

9.微分方程中等

一个 400 °C 的钢锻件放在 22 °C 的车间里冷却。 31 min 后其温度为 131 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 400 °CT_a = 22 °CT(31) = 131 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 3y/x = x，x > 0，y(1) = 3。求 y(3)。

y′ + 3y/x = xy(1) = 3

y(3) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 5 1; −2 1 3; 3 −1 3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −2x − 5y = 12 和 −3x + 6y = −8。求 x。

−2x − 5y = 12−3x + 6y = −8

x =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (5, 0, 20) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(2, −1, −4) 运动到点 B(−2, 0, −1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (5, 0, 20) NA(2, −1, −4) mB(−2, 0, −1) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

求平行六面体的体积 V，其从一个顶点出发的三条棱为 a = (−1, 4, 0)、b = (0, 3, 4) 和 c = (−5, −5, 1)。

a = (−1, 4, 0)b = (0, 3, 4)c = (−5, −5, 1)

V =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.2, 0.3, 0.3, 0.2

Var(X) =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 2X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.3, 0.2, 0.1, 0.35, 0.05Y = 2X + 5

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：14, 46, 49, 44, 53, 34, 46。

n = 7

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 10。数值低于 54 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 10x = 54

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.7154。求 z，保留两位小数。

A = 0.7154

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 10%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = 0.04979

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 3·(−1) = −3

还原对数

L = e⁻³ = 0.04979

答案

L = 0.04979

2.极限

答案: L = 2.5

洛必达法则

L = lim_x→0 [5/(1 + 5x)]/[2·cos 2x]

代入 x = 0

L = 5/2 = 2.5

答案

L = 2.5

3.导数

答案: f′(1) = 29.56

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则

f′(x) = u′v + uv′ = e^2x·(2x + 2·x²)

代入

f′(1) = 7.389·(2 + 2) = 29.56

答案

f′(1) = 29.56

4.导数

答案: x = −2

导数

f′(x) = 3x² + 9x + 6 = 3·(x² + 3x + 2)

解 f′(x) = 0

x = −2 或 x = −1

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x + 9：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−2) = −3, f″(−1) = 3

x = −2

答案

x = −2

5.积分

答案: I = 0.3424

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

原函数

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

极限

(−π/3·cos π/3 + sin π/3) − (0 + 0) = 0.3424

答案

I = 0.3424

6.积分

答案: A = 36

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

零点

9 − x² = 0 → x = ±3

积分

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

答案

A = 36

7.复数

答案: θ = −165 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2.5 / 3 = 0.8333

θ = 100° − (−95)° = 195° → −165°

辐角

θ = −165°

答案

θ = −165°

8.复数

答案: r = 5

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −2 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−2)·z + ((−2)² + 2²) = z² + 4z + 8

提取二次因式

z³ − z² − 12z − 40 = (z² + 4z + 8)(z − 5)

实根

r = 5

答案

r = 5

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −4 + 5 = 1 = −(−1)。

9.微分方程

答案: k = 0.04011 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−31k = 109/378

解出 k

k = ln(378/109)/31 = 0.04011 min⁻¹

答案

k = 0.04011 min⁻¹

10.微分方程

答案: y(3) = 1.904

积分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

积分

(x³y)′ = x⁴ → x³y = 1x⁵/5 + C

初始条件

3 = 1/5 + C → C = 2.8

求值

y(3) = (1·3⁵/5 + 2.8)/3³ = 1.904

答案

y(3) = 1.904

11.矩阵与行列式

答案: det A = 86

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 6, M₁₂ = −15, M₁₃ = −1

代数余子式展开

det A = 2·6 − 5·(−15) + 1·(−1) = 86

答案

det A = 86

12.矩阵与行列式

答案: x = −1.185

系数矩阵的行列式

det A = (−2)·6 − (−5)·(−3) = −27

替换 x 列

det Aₓ = 12·6 − (−5)·(−8) = 32

x = 32/(−27) = −1.185

答案

x = −1.185

y = −1.926

13.向量：点积和叉积

答案: W = 40 J

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

位移

d = B − A = (−2, 0, −1) − (2, −1, −4) = (−4, 1, 3) m

功

W = F·d = 5·(−4) + 0·1 + 20·3 = 40 J

答案

W = 40 J

14.向量：点积和叉积

答案: V = 103

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积 b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = 3·1 − 4·(−5) = 23

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = 4·(−5) − 0·1 = −20

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·(−5) − 3·(−5) = 15

与 a 的点积

a·(b × c) = (−1)·23 + 4·(−20) + 0·15 = −103

V = |−103| = 103

答案

V = 103

15.概率

答案: Var(X) = 1.05

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.3 + 2·0.3 + 3·0.2 = 1.5

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.3 + 4·0.3 + 9·0.2 = 3.3

方差

Var(X) = 3.3 − 1.5² = 1.05

答案

Var(X) = 1.05

16.概率

答案: σ_Y = 2.704

X 的离散程度

μ = 2.65, Var(X) = 1.827, σ_X = 1.352

线性变换

σ_Y = |2|·1.352 = 2.704

答案

σ_Y = 2.704

均值确实会改变：E(Y) = 2·2.65 + 5 = 10.3。

17.描述统计

答案: s = 13.2

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 286/7 = 40.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−26.86)² + 5.143² + 8.143² + 3.143² + 12.14² + (−6.857)² + 5.143² = 1045

标准差

s = √(1045/6) = 13.2

答案

s = 13.2

18.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

19.正态分布

答案: z = 1.07

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.7154)/2 = 0.8577

反向查 z 表

在表中找到 0.8577，读出 z。

z = 1.07

答案

z = 1.07

20.正态分布

答案: x = 448.7 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 500 + −1.282·40 = 448.74 h

答案

x = 448.74 h

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