工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (4x³ + x + 8)/(3x³ + 5x + 5)。

f(x) = (4x³ + x + 8)/(3x³ + 5x + 5)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²。

f(x) = (e^1.5x − 1 − 1.5x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(3x² + 1)。求 f′(−1)。

f(x) = ln(3x² + 1)x = −1

f′(−1) =

4.导数困难

f(x) = x² + 5x + 4 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = x² + 5x + 4x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₂⁴ 5/x dx。

f(x) = 5/x[2, 4]

I =

6.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = x

A =

7.复数中等

已知 z₁ = 4∠70° 和 z₂ = 2∠−140°，求 w = z₁·z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 4∠70°z₂ = 2∠−140°

θ = °

8.复数困难

n = 3、w = 64∠−60° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₀ 的虚部。

w = 64∠−60°n = 3k = 0

Im(z₀) =

9.微分方程中等

解 y″ + 8y′ + 15y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = -2。求 y(2)。

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 3y′(0) = -2

y(2) =

10.微分方程困难

一个系统在 t ≥ 0 时满足 y″ + 3y′ + 11.25y = 11.25，从静止开始：y(0) = 0，y′(0) = 0。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 11.25y = 11.25y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [−2 0; 0 −4]B = [2 5; −5 −2]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −3x − 3y = −5 和 x − 2y = −6。求 x。

−3x − 3y = −5x − 2y = −6

x =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−4, −1, −2) 与 b = (−2, −1, 3) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−4, −1, −2)b = (−2, −1, 3)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (5, 1, −4) 和 b = (6, 6, 3)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (5, 1, −4)b = (6, 6, 3)

(a × b)_z =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0.3, 0.25, 0.3, 0.15

Var(X) =

16.概率困难

一份测试有 8 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 1 题的概率 P 是多少？

n = 8p = 0.4k = 1

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：49, 40, 44, 25, 43, 10。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值低于 560 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 40x = 560

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.8638。求 z，保留两位小数。

A = 0.8638

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 95% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h95%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = 1.333

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(4 + 1/x² + 8/x³)/(3 + 5/x² + 5/x³)

令 x → ∞

L = 4/3 = 1.333

答案

L = 1.333

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 1.125

第一次应用

(1.5·e^1.5x − 1.5)/(2x) → 0/0

第二次应用

2.25·e^1.5x/2

代入 x = 0

L = 2.25·1/2 = 1.125

答案

L = 1.125

3.导数

答案: f′(−1) = −1.5

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 6x/(3x² + 1)

代入

f′(−1) = −6/4 = −1.5

答案

f′(−1) = −1.5

4.导数

答案: b = 3

切点和斜率

f(−1) = 0

f′(x) = 2x + 5 → f′(−1) = 3

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 0 − 3·(−1) = 3

答案

b = 3

5.积分

答案: I = 3.466

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 5·ln x

代入上下限

I = 5·(ln 4 − ln 2) = 5·ln 2 = 3.466

答案

I = 3.466

6.积分

答案: A = 0.6667

交点

0.5x² = x → x = 0, x = 2

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.1667x³]₀² = 0.6667

答案

A = 0.6667

7.复数

答案: θ = −70 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 · 2 = 8

θ = 70° + (−140)° = −70°

辐角

θ = −70°

答案

θ = −70°

8.复数

答案: Im(z₀) = −1.368

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

64^1/3 = 4

根的辐角

θ₀ = (−60° + 360°·0)/3 = −20°

直角坐标形式

z₀ = 4·(cos −20° + j sin −20°) = 3.759 − j1.368

Im(z₀) = −1.368

答案

Im(z₀) = −1.368

3 个根位于半径为 4 的圆上，彼此相隔 120°。

9.微分方程

答案: y(2) = 0.01595

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

由初值求常数

A + B = 3, −3A − 5B = -2

A = 6.5, B = −3.5

求值

y(2) = 6.5·e⁻⁶ + (−3.5)·e⁻¹⁰ = 0.01595

答案

y(2) = 0.01595

10.微分方程

答案: y(0.75) = 1.078

稳态值与根

y_ss = 1, r = −1.5 ± 3j

由初值求常数

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1.5A + 3B = 0 → B = −0.5

求值

y(0.75) = 1·(1 − e^−1.125(cos 2.25 + 0.5·sin 2.25)) = 1.078

答案

y(0.75) = 1.078

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = −10

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = (−2)·5 + 0·(−2) = −10

答案

c₁₂ = −10

12.矩阵与行列式

答案: x = −0.8889

系数矩阵的行列式

det A = (−3)·(−2) − (−3)·1 = 9

替换 x 列

det Aₓ = (−5)·(−2) − (−3)·(−6) = −8

x = −8/9 = −0.8889

答案

x = −0.8889

y = 2.556

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 79.92 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−4)·(−2) + (−1)·(−1) + (−2)·3 = 3

模

|a| = √((−4)² + (−1)² + (−2)²) = 4.583

|b| = √((−2)² + (−1)² + 3²) = 3.742

相角

cos θ = 3/(4.583·3.742) = 0.175

θ = arccos(0.175) = 79.92°

答案

θ = 79.92°

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 24

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·3 − (−4)·6 = 27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−4)·6 − 5·3 = −39

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·6 − 1·6 = 24

所求分量

(a × b)_z = 24

答案

(a × b)_z = 24

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: Var(X) = 4.44

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.3 + 2·0.25 + 4·0.3 + 6·0.15 = 2.6

平方的均值

E(X²) = 0·0.3 + 4·0.25 + 16·0.3 + 36·0.15 = 11.2

方差

Var(X) = 11.2 − 2.6² = 4.44

答案

Var(X) = 4.44

16.概率

答案: P = 0.08958

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

二项分布公式

P(X = 1) = 8·0.4¹·0.6⁷ = 8·0.4·0.02799 = 0.08958

答案

P = 0.08958

17.描述统计

答案: s = 14.77

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 211/6 = 35.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = 13.83² + 4.833² + 8.833² + (−10.17)² + 7.833² + (−25.17)² = 1091

标准差

s = √(1091/5) = 14.77

答案

s = 14.77

18.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332

P = 0.9332

答案

P = 0.9332

19.正态分布

答案: z = 1.49

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.8638)/2 = 0.9319

反向查 z 表

在表中找到 0.9319，读出 z。

z = 1.49

答案

z = 1.49

20.正态分布

答案: x = 434 h

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 500 − 1.64·40 = 434 h

答案

x = 434 h

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