工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−6x³ − 3x − 1)/(5x³ + x + 2)。

f(x) = (−6x³ − 3x − 1)/(5x³ + x + 2)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(4x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。

f(x) = x·sin(2x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 15x² + 63x − 4。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 15x² + 63x − 4

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀^π x·cos x dx（x 以弧度为单位）。

∫₀^π x·cos x dx

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx。

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

7.复数中等

图中显示 z = 3 − j2。已知 w = 2∠−90°，点选表示 z·w 的点。

z = 3 − j2w = 2∠−90°

1A (−2 − j3)
2B (−4 − j6)
3C (6 − j4)
4D (4 + j6)

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = −2 − j2 时 z⁶ 的虚部。

z = −2 − j2n = 6

Im(z⁶) =

9.微分方程中等

一罐 6 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 27 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.05 min⁻¹，求 9 min 后的温度 T。

T₀ = 6 °CT_a = 27 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 9 min

T = °C

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + y/x = 4x²，x > 0，y(1) = 2。求 y(2)。

y′ + y/x = 4x²y(1) = 2

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [−4 6; −4 5]B = [3 2; −5 −1]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 −3; 2 −1]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−30, 25, −5) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(4, 0, 0) 运动到点 B(2, −3, 5)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−30, 25, −5) NA(4, 0, 0) mB(2, −3, 5) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (0, −40, −60) N 作用在点 A(−4, 1, 3)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (0, −40, −60) NA(−4, 1, 3) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

15.概率中等

从 9 人中选出 4 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 4

N =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €3。你以概率 0.3 赢得 €15，以概率 0.05 赢得 €150；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €3€15: p = 0.3€150: p = 0.05

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：59, 32, 52, 32, 50。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 12。数值高于 177.2 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 12x = 177.2

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.7063。求 z，保留两位小数。

A = 0.7063

z =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 80%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −1.2

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−6 + (−3)/x² + (−1)/x³)/(5 + 1/x² + 2/x³)

令 x → ∞

L = −6/5 = −1.2

答案

L = −1.2

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 3.125

第一次应用

5·sin 5x/(8x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/8

代入 x = 0

L = 25/8 = 3.125

答案

L = 3.125

3.导数

答案: f′(1.5) = −2.829

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入

f′(1.5) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答案

f′(1.5) = −2.829

4.导数

答案: x = 7

导数

f′(x) = 3x² − 30x + 63 = 3·(x² − 10x + 21)

解 f′(x) = 0

x = 3 或 x = 7

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 30：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(3) = −12, f″(7) = 12

x = 7

答案

x = 7

5.积分

答案: I = −2

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

选取 u 和 dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

原函数

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

极限

(π·sin π + cos π) − (0 + 1) = −2

答案

I = −2

6.积分

答案: I = 0.0609

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

答案

I = 0.0609

7.复数

答案: B (−4 − j6)

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的作用

|z·w| = 2·|z|, arg(z·w) = arg z + (−90)°

该点

z·w = −4 − j6 → B

答案

B (−4 − j6)

8.复数

答案: Im(z⁶) = −512

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = −2 − j2 = 2√2∠−135°

棣莫弗定理

z⁶ = (2√2)⁶∠−810° = 512∠−90°

直角坐标形式

z⁶ = 512·(cos −90° + j sin −90°) = −j512

Im(z⁶) = −512

答案

Im(z⁶) = −512

9.微分方程

答案: T = 13.61 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 27 + (−21)·e^−0.05t

代入 t

T(9) = 27 + (−21)·0.6376 = 13.61 °C

答案

T = 13.61 °C

10.微分方程

答案: y(2) = 8.5

积分因子

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

积分

(x¹y)′ = 4x³ → x¹y = 4x⁴/4 + C

初始条件

2 = 4/4 + C → C = 1

求值

y(2) = (4·2⁴/4 + 1)/2¹ = 8.5

答案

y(2) = 8.5

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = −14

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = (−4)·2 + 6·(−1) = −14

答案

c₁₂ = −14

12.矩阵与行列式

答案: λ = 2

特征方程

λ² − (3)λ + (2) = 0

求解

λ = (3 ± √(1))/2 → λ = 1, 2

λ = 2

答案

λ = 2

13.向量：点积和叉积

答案: W = −40 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (2, −3, 5) − (4, 0, 0) = (−2, −3, 5) m

功

W = F·d = (−30)·(−2) + 25·(−3) + (−5)·5 = −40 J

答案

W = −40 J

负功：力主要与运动方向相反。

14.向量：点积和叉积

答案: M_x = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (−4, 1, 3) − (0, 0, 0) = (−4, 1, 3) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 1·(−60) − 3·(−40) = 60 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·0 − (−4)·(−60) = −240 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·(−40) − 1·0 = 160 N·m

所求分量

M_x = 60 N·m

答案

M_x = 60 N·m

15.概率

答案: N = 126

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

答案

N = 126

16.概率

答案: E(G) = 9 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 12 (p = 0.3), 147 (p = 0.05), −3 (p = 0.65)

期望值

E(G) = 12·0.3 + 147·0.05 − 3·0.65 = 9 €

答案

E(G) = 9 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 12.33

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 225/5 = 45

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14² + (−13)² + 7² + (−13)² + 5² = 608

标准差

s = √(608/4) = 12.33

答案

s = 12.33

18.描述统计

答案: P = 0.2743

标准化

z = 0.6

标准正态分布表

Φ(0.6) = 0.7257

P = 1 − 0.7257 = 0.2743

答案

P = 0.2743

19.正态分布

答案: z = 1.05

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.7063)/2 = 0.8531

反向查 z 表

在表中找到 0.8531，读出 z。

z = 1.05

答案

z = 1.05

20.正态分布

答案: x = 112.6 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 100 + 0.8416·15 = 112.62 分

答案

x = 112.62 分

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