工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^3x。给出小数值。

f(x) = (1 + 0.5/x)^3xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(2x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

f(x) = 3x² + x − 6 在 x = 2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² + x − 6x = 2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₂⁶ 3/x dx。

f(x) = 3/x[2, 6]

I =

6.积分困难

将直线 y = 5x 与抛物线 y = 2x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 5xy = 2x²

V =

7.复数中等

把 z = 3∠35° 写成直角坐标形式 a + jb，并给出虚部 b。

r = 3θ = 35°

b =

8.复数困难

n = 5、w = 32∠180° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, …, 4。求 z₀ 的实部。

w = 32∠180°n = 5k = 0

Re(z₀) =

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 9y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 2。求 y(2)。

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = 2

y(2) =

10.微分方程困难

一个水箱装有 200 L 纯水。每升含盐 0.2 kg 的盐水以 5 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 55 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0.2 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [4 2 5; −2 −1 −1; 5 5 5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [2 −2; 2 7]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−15, −10, 0) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−1, 0, 4) 运动到点 B(−5, 1, 1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−15, −10, 0) NA(−1, 0, 4) mB(−5, 1, 1) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (1, 1, −1) 和 b = (−2, 0, −3) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (1, 1, −1)b = (−2, 0, −3)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

从 9 人中选出 5 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 5

N =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.15 赢得 €4，以概率 0.05 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€4: p = 0.15€20: p = 0.05

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：21, 16, 14, 40, 11, 48。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 12。求成绩 78 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 12x = 78

z =

19.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 178.35 和 179.75 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 178.35x₂ = 179.75

P =

20.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 90% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

3溶液

1.极限

答案: L = 4.482

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 0.5/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 3·0.5 = 1.5

还原对数

L = e^1.5 = 4.482

答案

L = 4.482

2.极限

答案: L = 0.3333

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 1/3 = 0.3333

答案

L = 0.3333

3.导数

答案: f′(2) = −3.371

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入

f′(2) = −0.7568 + 4·(−0.6536) = −3.371

答案

f′(2) = −3.371

4.导数

答案: b = −18

切点和斜率

f(2) = 8

f′(x) = 6x + 1 → f′(2) = 13

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 8 − 13·2 = −18

答案

b = −18

5.积分

答案: I = 3.296

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 3·ln x

代入上下限

I = 3·(ln 6 − ln 2) = 3·ln 3 = 3.296

答案

I = 3.296

6.积分

答案: V = 163.6

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

5x = 2x² → x = 0, x = 2.5

垫圈法

V = π∫₀^2.5 ((5x)² − (2x²)²) dx

积分

V = π(25·2.5³/3 − 4·2.5⁵/5) = π·52.08 = 163.6

答案

V = 163.6

7.复数

答案: b = 1.721

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

分量

a = 3·cos(35°) = 2.457

b = 3·sin(35°) = 1.721

直角坐标形式

z = 2.457 + j1.721

b = 1.721

答案

b = 1.721

8.复数

答案: Re(z₀) = 1.618

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

32^1/5 = 2

根的辐角

θ₀ = (180° + 360°·0)/5 = 36°

直角坐标形式

z₀ = 2·(cos 36° + j sin 36°) = 1.618 + j1.176

Re(z₀) = 1.618

答案

Re(z₀) = 1.618

5 个根位于半径为 2 的圆上，彼此相隔 72°。

9.微分方程

答案: y(2) = 0.09667

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

二重根

(r + 3)² = 0 → r = −3

常数

A = y(0) = 5

y′(0) = B − 3A → B = 2 + 15 = 17

求值

y(2) = (5 + 17·2)·e⁻⁶ = 0.09667

答案

y(2) = 0.09667

10.微分方程

答案: m = 29.89 kg

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

列方程

dm/dt = 5·0.2 − (5/200)·m = 1 − 0.025·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 40 + (−40)·e^−t/40

代入 t

m(55) = 40 + (−40)·0.2528 = 29.89 kg

答案

m = 29.89 kg

11.矩阵与行列式

答案: det A = −15

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 0, M₁₂ = −5, M₁₃ = −5

代数余子式展开

det A = 4·0 − 2·(−5) + 5·(−5) = −15

答案

det A = −15

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (9)λ + (18) = 0

求解

λ = (9 ± √(9))/2 → λ = 3, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: W = 50 J

点积：a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ，结果是标量。它可以给出两个向量的夹角 cos θ = a·b/(|a|·|b|)，两向量垂直时点积为零。a 在 b 上的标量投影是 a·b/|b|，恒力 F 使物体产生位移 d 时做的功为 W = F·d。

位移

d = B − A = (−5, 1, 1) − (−1, 0, 4) = (−4, 1, −3) m

功

W = F·d = (−15)·(−4) + (−10)·1 + 0·(−3) = 50 J

答案

W = 50 J

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.4867

叉积：a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) 与两个向量都垂直，|a × b| = |a|·|b|·sin θ 是它们张成的平行四边形的面积（三角形面积是其一半）。顺序很重要：b × a = −(a × b)。作用在点 A 的力 F 对点 O 的力矩为 M_O = r × F，其中 r = A − O。

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 1·(−3) − (−1)·0 = −3

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−1)·(−2) − 1·(−3) = 5

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 1·0 − 1·(−2) = 2

归一化

a × b 的 z 分量已经为正。

|a × b| = √((−3)² + 5² + 2²) = 6.164

n̂ = (−3, 5, 2)/6.164 = (−0.4867, 0.8111, 0.3244)

n̂_x = −0.4867

答案

n̂_x = −0.4867

15.概率

答案: N = 126

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

答案

N = 126

16.概率

答案: E(G) = −0.4 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 2 (p = 0.15), 18 (p = 0.05), −2 (p = 0.8)

期望值

E(G) = 2·0.15 + 18·0.05 − 2·0.8 = −0.4 €

答案

E(G) = −0.4 €

负值表示平均而言你会亏钱。

17.描述统计

答案: s = 15.28

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 150/6 = 25

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−9)² + (−11)² + 15² + (−14)² + 23² = 1168

标准差

s = √(1168/5) = 15.28

答案

s = 15.28

18.描述统计

答案: z = 1.5

标准化

z = (78 − 60)/12 = 1.5

答案

z = 1.5

19.正态分布

答案: P = 0.07877

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (178.35 − 178)/7 = 0.05

z₂ = (179.75 − 178)/7 = 0.25

中间面积

P = Φ(0.25) − Φ(0.05) = 0.5987 − 0.5199 = 0.07877

答案

P = 0.07877

20.正态分布

答案: x = 169 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.1

由表得到的 z

z ≈ −1.28

回到原来的单位

x = 178 − 1.28·7 = 169 cm

答案

x = 169 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics