工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 3/x)^2x。给出小数值。

f(x) = (1 + 3/x)^2xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(0.5)。

f(x) = x·sin(2x)x = 0.5 rad

f′(0.5) =

4.导数困难

f(x) = 3x² − 3x + 6 在 x = −2 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² − 3x + 6x = −2

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx。

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

6.积分困难

求由 y = x² 和 y = x 围成区域的面积 A。

y = x²y = x

A =

7.复数中等

已知 z₁ = 4∠55° 和 z₂ = 1.5∠20°，求 w = z₁·z₂ 的虚部。

z₁ = 4∠55°z₂ = 1.5∠20°

Im(w) =

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = 1 − j√3 时 z⁴ 的虚部。

z = 1 − j√3n = 4

Im(z⁴) =

9.微分方程中等

一罐 3 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 26 °C 的房间里。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.05 min⁻¹，求 17 min 后的温度 T。

T₀ = 3 °CT_a = 26 °Ck = 0.05 min⁻¹t = 17 min

T = °C

10.微分方程困难

一个水箱装有 400 L 纯水。每升含盐 0.05 kg 的盐水以 5 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。多少分钟 t 后水箱中含盐 6 kg？

V = 400 Lm₀ = 0 kgc = 0.05 kg/Lr = 5 L/min

t = min

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−4 −3 0; 1 2 3; 4 0 −3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [1 −4; 5 −8]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (3, −2, −1) 与 b = (1, 0, 2) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (3, −2, −1)b = (1, 0, 2)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (6, 6, 1) 和 b = (−6, 3, −6)，求叉积 a × b 的 x 分量 (a × b)_x。

a = (6, 6, 1)b = (−6, 3, −6)

(a × b)_x =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0.15, 0.35, 0.15, 0.3, 0.05

Var(X) =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.3 赢得 €10，以概率 0.01 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€10: p = 0.3€40: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：46, 42, 26, 33, 10。

n = 5

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 60，标准差为 20。求成绩 44 的 z 分数 z。

μ = 60σ = 20x = 44

z =

19.正态分布中等

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。介于 240 和 259 g 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 250σ = 5x₁ = 240x₂ = 259

P =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = 403.4

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 + 3/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 2·3 = 6

还原对数

L = e⁶ = 403.4

答案

L = 403.4

2.极限

答案: L = 1.333

洛必达法则

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 4/3 = 1.333

答案

L = 1.333

3.导数

答案: f′(0.5) = 1.382

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入

f′(0.5) = 0.8415 + 1·0.5403 = 1.382

答案

f′(0.5) = 1.382

4.导数

答案: b = −6

切点和斜率

f(−2) = 24

f′(x) = 6x − 3 → f′(−2) = −15

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 24 − (−15)·(−2) = −6

答案

b = −6

5.积分

答案: I = 156

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

换元

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

积分并代入上下限

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

答案

I = 156

6.积分

答案: A = 0.1667

交点

x² = x → x = 0, x = 1

对上减下积分

A = [0.5x² − 0.3333x³]₀¹ = 0.1667

答案

A = 0.1667

7.复数

答案: Im(w) = 5.796

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 · 1.5 = 6

θ = 55° + 20° = 75°

直角坐标形式

Re(w) = 6·cos(75°) = 1.553

Im(w) = 6·sin(75°) = 5.796

Im(w) = 5.796

答案

Im(w) = 5.796

8.复数

答案: Im(z⁴) = 13.86

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 − j√3 = 2∠−60°

棣莫弗定理

z⁴ = (2)⁴∠−240° = 16∠120°

直角坐标形式

z⁴ = 16·(cos 120° + j sin 120°) = −8 + j13.86

Im(z⁴) = 13.86

答案

Im(z⁴) = 13.86

9.微分方程

答案: T = 16.17 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 26 + (−23)·e^−0.05t

代入 t

T(17) = 26 + (−23)·0.4274 = 16.17 °C

答案

T = 16.17 °C

10.微分方程

答案: t = 28.53 min

结果

m(t) = 20 + (−20)·e^−t/80

解出 t

e^−t/80 = (20 − 6)/(20 − 0) = 0.7

t = 80·ln(1.429) = 28.53 min

答案

t = 28.53 min

11.矩阵与行列式

答案: det A = −21

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −6, M₁₂ = −15, M₁₃ = −8

代数余子式展开

det A = (−4)·(−6) − (−3)·(−15) + 0·(−8) = −21

答案

det A = −21

12.矩阵与行列式

答案: λ = −3

特征方程

λ² − (−7)λ + (12) = 0

求解

λ = (−7 ± √(1))/2 → λ = −4, −3

λ = −3

答案

λ = −3

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 83.14 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = 3·1 + (−2)·0 + (−1)·2 = 1

模

|a| = √(3² + (−2)² + (−1)²) = 3.742

|b| = √(1² + 0² + 2²) = 2.236

相角

cos θ = 1/(3.742·2.236) = 0.1195

θ = arccos(0.1195) = 83.14°

答案

θ = 83.14°

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_x = −39

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·(−6) − 1·3 = −39

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−6) − 6·(−6) = 30

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 6·3 − 6·(−6) = 54

所求分量

(a × b)_x = −39

答案

(a × b)_x = −39

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: Var(X) = 1.387

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.15 + 4·0.3 + 5·0.05 = 2.75

平方的均值

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.15 + 16·0.3 + 25·0.05 = 8.95

方差

Var(X) = 8.95 − 2.75² = 1.387

答案

Var(X) = 1.387

16.概率

答案: E(G) = 1.4 €

净结果

G: 8 (p = 0.3), 38 (p = 0.01), −2 (p = 0.69)

期望值

E(G) = 8·0.3 + 38·0.01 − 2·0.69 = 1.4 €

答案

E(G) = 1.4 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 14.28

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 157/5 = 31.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14.6² + 10.6² + (−5.4)² + 1.6² + (−21.4)² = 815.2

标准差

s = √(815.2/4) = 14.28

答案

s = 14.28

18.描述统计

答案: z = −0.8

标准化

z = (44 − 60)/20 = −0.8

答案

z = −0.8

19.正态分布

答案: P = 0.9413

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (240 − 250)/5 = −2

z₂ = (259 − 250)/5 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−2) = 0.9641 − 0.02275 = 0.9413

答案

P = 0.9413

20.正态分布

答案: x = 37.05 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 32 + 0.8416·6 = 37.05 min

答案

x = 37.05 min

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