工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 0.5/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 0.5/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (e^3x − 1 − 3x)/x²。

f(x) = (e^3x − 1 − 3x)/x²x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(2x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。

f(x) = x·sin(2x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = 3x² − 3x + 3 在 x = 3 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² − 3x + 3x = 3

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₁⁵ 1/x dx。

f(x) = 1/x[1, 5]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx。

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

7.复数中等

求 z = −5 + j8 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间的主值。

z = −5 + j8

θ = °

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z⁶ = 64∠−90° 的根。点选它。

w = 64∠−90°n = 6

1A (2∠−15°)
2B (2∠−90°)
3C (1∠−15°)
4D (2∠15°)

9.微分方程中等

一个 380 °C 的钢锻件放在 25 °C 的车间里冷却。 42 min 后其温度为 178 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 79 °C？

T₀ = 380 °CT_a = 25 °CT(42) = 178 °CT = 79 °C

t = min

10.微分方程困难

一个水箱装有 1000 L 水，其中溶有 20 kg 盐。每升含盐 0.05 kg 的盐水以 20 L/min 流入，混合均匀的溶液以相同流量流出。 40 min 后水箱中有多少盐 m？

V = 1000 Lm₀ = 20 kgc = 0.05 kg/Lr = 20 L/min

m = kg

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₂₂（第 2 行，第 2 列）。

A = [−1 1; 5 −2]B = [−6 0; 4 5]

c₂₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −2x − 4y = 11 和 2x + 5y = 12。求 x。

−2x − 4y = 112x + 5y = 12

x =

13.向量：点积和叉积中等

求使向量 a = (−6, 5, 6) 与 b = (3, −3, k) 垂直的 k 的值。

a = (−6, 5, 6)b = (3, −3, k)

k =

14.向量：点积和叉积困难

求由 a = (5, 6, −3) 和 b = (−4, 0, 3) 张成的平行四边形的面积 A。

a = (5, 6, −3)b = (−4, 0, 3)

A =

15.概率中等

袋中有 6 个红球和 4 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 4

P =

16.概率困难

X 的分布如图所示，Y = 0.5X + 5。求 Y 的标准差 σ_Y。

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0.25, 0.35, 0.05, 0.35Y = 0.5X + 5

σ_Y =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：16, 39, 49, 13, 52。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 50。数值高于 400 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 50x = 400

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3446。求 z，保留两位小数。

A = 0.3446

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 85% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = 1.649

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 0.5/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·0.5 = 0.5

还原对数

L = e^0.5 = 1.649

答案

L = 1.649

2.极限

答案: L = 4.5

第一次应用

(3·e^3x − 3)/(2x) → 0/0

第二次应用

9·e^3x/2

代入 x = 0

L = 9·1/2 = 4.5

答案

L = 4.5

3.导数

答案: f′(1.5) = −2.829

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

代入

f′(1.5) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答案

f′(1.5) = −2.829

4.导数

答案: b = −24

切点和斜率

f(3) = 21

f′(x) = 6x − 3 → f′(3) = 15

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 21 − 15·3 = −24

答案

b = −24

5.积分

答案: I = 1.609

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = ln x

代入上下限

I = (ln 5 − ln 1) = ln 5 = 1.609

答案

I = 1.609

6.积分

答案: I = 0.0609

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

答案

I = 0.0609

7.复数

答案: θ = 122 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

象限

a = −5, b = 8 → II

参考角

α = atan(8/5) = 57.99°

辐角

θ = 180° − α = 122°

答案

θ = 122°

极坐标形式为 z = 9.434∠122°。

8.复数

答案: A (2∠−15°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2

θ = −15°, 45°, 105°, 165°, −135°, −75°

该点

A = 2∠−15°

答案

A (2∠−15°)

9.微分方程

答案: t = 93.97 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(355/153)/42 = 0.02004 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(355/54)/0.02004 = 93.97 min

答案

t = 93.97 min

10.微分方程

答案: m = 36.52 kg

列方程

dm/dt = 20·0.05 − (20/1000)·m = 1 − 0.02·m

求解

积分因子为 e^rt/V；解趋近于平衡值 c·V。

m(t) = 50 + (−30)·e^−t/50

代入 t

m(40) = 50 + (−30)·0.4493 = 36.52 kg

答案

m = 36.52 kg

11.矩阵与行列式

答案: c₂₂ = −10

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₂₂ = 5·0 + (−2)·5 = −10

答案

c₂₂ = −10

12.矩阵与行列式

答案: x = −51.5

系数矩阵的行列式

det A = (−2)·5 − (−4)·2 = −2

替换 x 列

det Aₓ = 11·5 − (−4)·12 = 103

x = 103/(−2) = −51.5

答案

x = −51.5

y = 23

13.向量：点积和叉积

答案: k = 5.5

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积等于零

a·b = (−6)·3 + 5·(−3) + 6·k = 0

−33 + 6·k = 0

解出 k

k = −(−33)/6 = 5.5

答案

k = 5.5

14.向量：点积和叉积

答案: A = 30.15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 6·3 − (−3)·0 = 18

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−4) − 5·3 = −3

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 5·0 − 6·(−4) = 24

面积

A = |a × b| = √(18² + (−3)² + 24²) = 30.15

答案

A = 30.15

15.概率

答案: P = 0.3333

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/10 · 5/9 = 30/90 = 0.3333

答案

P = 0.3333

16.概率

答案: σ_Y = 0.6021

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

X 的离散程度

μ = 1.5, Var(X) = 1.45, σ_X = 1.204

线性变换

σ_Y = |0.5|·1.204 = 0.6021

答案

σ_Y = 0.6021

均值确实会改变：E(Y) = 0.5·1.5 + 5 = 5.75。

17.描述统计

答案: s = 18.29

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 169/5 = 33.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−17.8)² + 5.2² + 15.2² + (−20.8)² + 18.2² = 1339

标准差

s = √(1339/4) = 18.29

答案

s = 18.29

18.描述统计

答案: P = 0.9772

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 1 − 0.02275 = 0.9772

答案

P = 0.9772

19.正态分布

答案: z = 0.4

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.3446 = 0.6554

反向查 z 表

在表中找到 0.6554，读出 z。

z = 0.40

答案

z = 0.40

20.正态分布

答案: x = 542 h

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 500 + 1.04·40 = 542 h

答案

x = 542 h

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