工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−5x² + 9)/(x² + x + 3)。

f(x) = (−5x² + 9)/(x² + x + 3)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 5x)/(x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = ln(x² + 2)。求 f′(1)。

f(x) = ln(x² + 2)x = 1

f′(1) =

4.导数困难

f(x) = x² + 5x − 3 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = x² + 5x − 3x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀³ e^0.5x dx。

f(x) = e^0.5x[0, 3]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀³ x²·eˣ dx。

∫₀³ x²eˣ dx

I =

7.复数中等

已知 z₁ = 3∠55° 和 z₂ = 2∠20°，求 w = z₁·z₂ 的辐角 θ，以度为单位，取 −180° 到 180° 之间。

z₁ = 3∠55°z₂ = 2∠20°

θ = °

8.复数困难

n = 3、w = 64∠−60° 时，zⁿ = w 的根为 z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n)，k = 0, 1, 2。求 z₀ 的实部。

w = 64∠−60°n = 3k = 0

Re(z₀) =

9.微分方程中等

一个 300 °C 的钢锻件放在 20 °C 的车间里冷却。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。已知 k = 0.03 min⁻¹，求 16 min 后的温度 T。

T₀ = 300 °CT_a = 20 °Ck = 0.03 min⁻¹t = 16 min

T = °C

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 3y/x = 2x，x > 0，y(1) = −1。求 y(2)。

y′ + 3y/x = 2xy(1) = −1

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−5 −1 0; 4 5 2; −4 5 −3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [4 −2; −3 3]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−20, 30, 25) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(4, 1, 3) 运动到点 B(−5, 5, −1)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−20, 30, 25) NA(4, 1, 3) mB(−5, 5, −1) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (2, 2, 4) 和 b = (2, −4, −2) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 x 分量 n̂_x。

a = (2, 2, 4)b = (2, −4, −2)n̂_z > 0

n̂_x =

15.概率中等

袋中有 6 个红球和 8 个蓝球。不放回地依次摸出两个球。两个都是红球的概率 P 是多少？

6 / 8

P =

16.概率困难

测试 7 个元件，每个独立地以概率 0.25 失效。至多一个失效的概率 P 是多少？

n = 7p = 0.25

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：26, 32, 21, 16, 28。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 20。数值高于 90 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 20x = 90

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3372。求 z，保留两位小数。

A = 0.3372

z =

20.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

3溶液

1.极限

答案: L = −5

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−5 + 9/x²)/(1 + 1/x + 3/x²)

令 x → ∞

L = −5/1 = −5

答案

L = −5

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 12.5

第一次应用

5·sin 5x/(2x) → 0/0

第二次应用

25·cos 5x/2

代入 x = 0

L = 25/2 = 12.5

答案

L = 12.5

3.导数

答案: f′(1) = 0.6667

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

对数的链式法则

f′(x) = 2x/(x² + 2)

代入

f′(1) = 2/3 = 0.6667

答案

f′(1) = 0.6667

4.导数

答案: b = −4

切点和斜率

f(−1) = −7

f′(x) = 2x + 5 → f′(−1) = 3

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −7 − 3·(−1) = −4

答案

b = −4

5.积分

答案: I = 6.963

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^0.5x/0.5

代入上下限

I = (e^1.5 − 1)/0.5 = (4.482 − 1)/0.5 = 6.963

答案

I = 6.963

6.积分

答案: I = 98.43

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

20.09·(5) − 1·2 = 98.43

答案

I = 98.43

7.复数

答案: θ = 75 °

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 3 · 2 = 6

θ = 55° + 20° = 75°

辐角

θ = 75°

答案

θ = 75°

8.复数

答案: Re(z₀) = 3.759

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模

64^1/3 = 4

根的辐角

θ₀ = (−60° + 360°·0)/3 = −20°

直角坐标形式

z₀ = 4·(cos −20° + j sin −20°) = 3.759 − j1.368

Re(z₀) = 3.759

答案

Re(z₀) = 3.759

3 个根位于半径为 4 的圆上，彼此相隔 120°。

9.微分方程

答案: T = 193.3 °C

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却定律的解

T(t) = 20 + 280·e^−0.03t

代入 t

T(16) = 20 + 280·0.6188 = 193.3 °C

答案

T = 193.3 °C

10.微分方程

答案: y(2) = 1.425

积分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

积分

(x³y)′ = 2x⁴ → x³y = 2x⁵/5 + C

初始条件

−1 = 2/5 + C → C = −1.4

求值

y(2) = (2·2⁵/5 + (−1.4))/2³ = 1.425

答案

y(2) = 1.425

11.矩阵与行列式

答案: det A = 121

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −25, M₁₂ = −4, M₁₃ = 40

代数余子式展开

det A = (−5)·(−25) − (−1)·(−4) + 0·40 = 121

答案

det A = 121

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (7)λ + (6) = 0

求解

λ = (7 ± √(25))/2 → λ = 1, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: W = 200 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (−5, 5, −1) − (4, 1, 3) = (−9, 4, −4) m

功

W = F·d = (−20)·(−9) + 30·4 + 25·(−4) = 200 J

答案

W = 200 J

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_x = −0.5774

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 2·(−2) − 4·(−4) = 12

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·2 − 2·(−2) = 12

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 2·(−4) − 2·2 = −12

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √(12² + 12² + (−12)²) = 20.78

n̂ = −(12, 12, −12)/20.78 = (−0.5774, −0.5774, 0.5774)

n̂_x = −0.5774

答案

n̂_x = −0.5774

15.概率

答案: P = 0.1648

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

第一次和第二次摸球

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0.1648

答案

P = 0.1648

16.概率

答案: P = 0.4449

零个和一个失效

P(X = 0) = 0.75⁷ = 0.1335

P(X = 1) = 7·0.25·0.75⁶ = 0.3115

相加

P = 0.1335 + 0.3115 = 0.4449

答案

P = 0.4449

17.描述统计

答案: s = 6.229

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 123/5 = 24.6

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.4² + 7.4² + (−3.6)² + (−8.6)² + 3.4² = 155.2

标准差

s = √(155.2/4) = 6.229

答案

s = 6.229

18.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772

P = 1 − 0.9772 = 0.02275

答案

P = 0.02275

19.正态分布

答案: z = 0.42

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.3372 = 0.6628

反向查 z 表

在表中找到 0.6628，读出 z。

z = 0.42

答案

z = 0.42

20.正态分布

答案: x = 473 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 500 + −0.6745·40 = 473.02 h

答案

x = 473.02 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics