工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−2x² + 4x + 8)/(5x² + x + 6)。

f(x) = (−2x² + 4x + 8)/(5x² + x + 6)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²)，x 以弧度计。

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (−2x + 1)⁴。求 f′(1)。

f(x) = (−2x + 1)⁴x = 1

f′(1) =

4.导数困难

f(x) = 3x² + 4x + 6 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 3x² + 4x + 6x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₂¹⁰ 3/x dx。

f(x) = 3/x[2, 10]

I =

6.积分困难

计算 I = ∫₀^0.5 x²·eˣ dx。

∫₀^0.5 x²eˣ dx

I =

7.复数中等

已知 z₁ = 4∠40° 和 z₂ = 1.5∠−95°，求 w = z₁·z₂ 的实部。

z₁ = 4∠40°z₂ = 1.5∠−95°

Re(w) =

8.复数困难

z³ + 5z² + 7z − 13 = 0 的一个根为 z₁ = −3 + j2。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −3 + j2

r =

9.微分方程中等

解 y″ + 6y′ + 5y = 0，其中 y(0) = 1，y′(0) = 2。求 y(0.5)。

y″ + 6y′ + 5y = 0y(0) = 1y′(0) = 2

y(0.5) =

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + y/x = 5x²，x > 0，y(1) = 4。求 y(2)。

y′ + y/x = 5x²y(1) = 4

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [3 5 −1; 4 4 1; 1 −5 −5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [−2 −1; −3 0]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (4, −7, 0) 与 b = (4, 7, 5) 的点积 a·b。

a = (4, −7, 0)b = (4, 7, 5)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−3, 0, −6) 和 b = (6, −5, −6)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (−3, 0, −6)b = (6, −5, −6)

(a × b)_z =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的标准差 σ。

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0.15, 0.35, 0.2, 0.3

σ =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €2。你以概率 0.3 赢得 €8，以概率 0.02 赢得 €40；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €2€8: p = 0.3€40: p = 0.02

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：32, 20, 20, 26, 26, 32。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 25。数值低于 510 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 25x = 510

P =

19.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 8 个的总质量低于 747.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 747.9 kg

P =

20.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 5%

x = 分

3溶液

1.极限

答案: L = −0.4

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−2 + 4/x + 8/x²)/(5 + 1/x + 6/x²)

令 x → ∞

L = −2/5 = −0.4

答案

L = −0.4

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 2

第一次应用

4·sin 4x/(8x) → 0/0

第二次应用

16·cos 4x/8

代入 x = 0

L = 16/8 = 2

答案

L = 2

3.导数

答案: f′(1) = 8

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 4·(−2x + 1)³·(−2)

代入

f′(1) = 4·(−1)³·(−2) = 8

答案

f′(1) = 8

4.导数

答案: b = 3

切点和斜率

f(−1) = 5

f′(x) = 6x + 4 → f′(−1) = −2

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 5 − (−2)·(−1) = 3

答案

b = 3

5.积分

答案: I = 4.828

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 3·ln x

代入上下限

I = 3·(ln 10 − ln 2) = 3·ln 5 = 4.828

答案

I = 4.828

6.积分

答案: I = 0.0609

分部积分：∫u·dv = u·v − ∫v·du，由乘积法则得出。把 u 选为求导后会变简单的因式（x 的幂或 ln x），把 dv 选为你能积分的因式（eˣ、sin x、cos x，或 u = ln x 时的 x）。对定积分，要在两个上下限处计算 u·v：∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du。含 x² 的因式需要做两轮。

第一轮

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

第二轮

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

极限

1.649·(1.25) − 1·2 = 0.0609

答案

I = 0.0609

7.复数

答案: Re(w) = 3.441

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 4 · 1.5 = 6

θ = 40° + (−95)° = −55°

直角坐标形式

Re(w) = 6·cos(−55°) = 3.441

Im(w) = 6·sin(−55°) = −4.915

Re(w) = 3.441

答案

Re(w) = 3.441

8.复数

答案: r = 1

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −3 − j2

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 2²) = z² + 6z + 13

提取二次因式

z³ + 5z² + 7z − 13 = (z² + 6z + 13)(z − 1)

实根

r = 1

答案

r = 1

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −6 + 1 = −5 = −(5)。

9.微分方程

答案: y(0.5) = 0.9999

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 1)(r + 5) = 0 → r = −1, −5

由初值求常数

A + B = 1, −1A − 5B = 2

A = 1.75, B = −0.75

求值

y(0.5) = 1.75·e^−0.5 + (−0.75)·e^−2.5 = 0.9999

答案

y(0.5) = 0.9999

10.微分方程

答案: y(2) = 11.38

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

积分因子

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

积分

(x¹y)′ = 5x³ → x¹y = 5x⁴/4 + C

初始条件

4 = 5/4 + C → C = 2.75

求值

y(2) = (5·2⁴/4 + 2.75)/2¹ = 11.38

答案

y(2) = 11.38

11.矩阵与行列式

答案: det A = 84

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −15, M₁₂ = −21, M₁₃ = −24

代数余子式展开

det A = 3·(−15) − 5·(−21) + (−1)·(−24) = 84

答案

det A = 84

12.矩阵与行列式

答案: λ = 1

特征方程

λ² − (−2)λ + (−3) = 0

求解

λ = (−2 ± √(16))/2 → λ = −3, 1

λ = 1

答案

λ = 1

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = −33

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 4·4 + (−7)·7 + 0·5 = 16 + (−49) + 0 = −33

答案

a·b = −33

为负：两向量的夹角大于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 15

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 0·(−6) − (−6)·(−5) = −30

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−6)·6 − (−3)·(−6) = −54

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−3)·(−5) − 0·6 = 15

所求分量

(a × b)_z = 15

答案

(a × b)_z = 15

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: σ = 1.062

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 1·0.15 + 2·0.35 + 3·0.2 + 4·0.3 = 2.65

平方的均值

E(X²) = 1·0.15 + 4·0.35 + 9·0.2 + 16·0.3 = 8.15

方差

Var(X) = 8.15 − 2.65² = 1.127

σ = √1.127 = 1.062

答案

σ = 1.062

16.概率

答案: E(G) = 1.2 €

净结果

G: 6 (p = 0.3), 38 (p = 0.02), −2 (p = 0.68)

期望值

E(G) = 6·0.3 + 38·0.02 − 2·0.68 = 1.2 €

答案

E(G) = 1.2 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 5.367

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 156/6 = 26

离差平方

Σ(x − x̄)² = 6² + (−6)² + (−6)² + 0² + 0² + 6² = 144

标准差

s = √(144/5) = 5.367

答案

s = 5.367

18.描述统计

答案: P = 0.6554

标准化

z = 0.4

标准正态分布表

Φ(0.4) = 0.6554

P = 0.6554

答案

P = 0.6554

19.正态分布

答案: P = 0.9772

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33.94 kg

标准化

z = (747.9 − 680)/33.94 = 2

概率

P = Φ(2) = 0.9772

答案

P = 0.9772

20.正态分布

答案: x = 75.33 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 100 + −1.645·15 = 75.33 分

答案

x = 75.33 分

ExamProblems · examproblems.com/courses/engineering-mathematics