工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (−x² + x − 9)/(3x² + 6x + 6)。

f(x) = (−x² + x − 9)/(3x² + 6x + 6)x → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(5x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + x)/sin(5x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(1.5)。

f(x) = x·sin(3x)x = 1.5 rad

f′(1.5) =

4.导数困难

f(x) = 0.5x² − x + 3 在 x = −1 处的切线与 y 轴交于 y = b。求 b。

f(x) = 0.5x² − x + 3x = −1

b =

5.积分中等

计算 I = ∫₀³ e^2x dx。

f(x) = e^2x[0, 3]

I =

6.积分困难

求由 y = 0.5x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = 0.5x²y = 3x

A =

7.复数中等

数 z = 5·e^j1.5 的角度以弧度为单位。求它的虚部 b。

r = 5θ = 1.5 rad

b =

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 27∠60° 的根。点选它。

w = 27∠60°n = 3

1A (3∠−100°)
2B (3∠−40°)
3C (5.4∠−40°)
4D (3∠60°)

9.微分方程中等

一杯 94 °C 的咖啡放在 23 °C 的房间里。 20 min 后其温度为 41 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。从开始算起需要多长时间 t 才能达到 33 °C？

T₀ = 94 °CT_a = 23 °CT(20) = 41 °CT = 33 °C

t = min

10.微分方程困难

解 y″ + 3y′ + 6.25y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 6.25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.75) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [2 5 2; −4 2 3; 3 −2 5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 −4x − 2y = −6 和 −4x − 4y = −11。求 x。

−4x − 2y = −6−4x − 4y = −11

x =

13.向量：点积和叉积中等

求向量 a = (−3, −3, −5) 与 b = (−5, 3, −4) 之间的夹角 θ，以度为单位。

a = (−3, −3, −5)b = (−5, 3, −4)

θ = °

14.向量：点积和叉积困难

一个力 F = (60, −40, −20) N 作用在点 A(3, −3, −2)。坐标单位为米。求该力对原点 O(0, 0, 0) 的力矩的 x 分量 M_x。

F = (60, −40, −20) NA(3, −3, −2) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

15.概率中等

从 9 人中选出 3 人组成委员会，有多少种选法 N？顺序无关。

n = 9k = 3

N =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.25 赢得 €50，以概率 0.05 赢得 €500；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€50: p = 0.25€500: p = 0.05

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：57, 25, 57, 31, 60, 47。

n = 6

s =

18.描述统计困难

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。求成绩 452 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 40x = 452

z =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.3759。求 z，保留两位小数。

A = 0.3759

z =

20.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 5% 的数据低于它（第 5 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 5%

x = cm

3溶液

1.极限

答案: L = −0.3333

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

除以最高次幂

(−1 + 1/x + (−9)/x²)/(3 + 6/x + 6/x²)

令 x → ∞

L = −1/3 = −0.3333

答案

L = −0.3333

次数相同时，极限为首项系数之比。

2.极限

答案: L = 0.2

洛必达法则

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[5·cos 5x]

代入 x = 0

L = 1/5 = 0.2

答案

L = 0.2

3.导数

答案: f′(1.5) = −1.926

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(1.5) = −0.9775 + 4.5·(−0.2108) = −1.926

答案

f′(1.5) = −1.926

4.导数

答案: b = 2.5

切点和斜率

f(−1) = 4.5

f′(x) = x − 1 → f′(−1) = −2

x = 0 处的切线值

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4.5 − (−2)·(−1) = 2.5

答案

b = 2.5

5.积分

答案: I = 201.2

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^2x/2

代入上下限

I = (e⁶ − 1)/2 = (403.4 − 1)/2 = 201.2

答案

I = 201.2

6.积分

答案: A = 18

交点

0.5x² = 3x → x = 0, x = 6

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.1667x³]₀⁶ = 18

答案

A = 18

7.复数

答案: b = 4.987

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

欧拉公式

z = 5·(cos 1.5 + j sin 1.5)

分量（弧度）

a = 5·cos 1.5 = 0.3537

b = 5·sin 1.5 = 4.987

b = 4.987

答案

b = 4.987

8.复数

答案: A (3∠−100°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 3

θ = 20°, 140°, −100°

该点

A = 3∠−100°

答案

A (3∠−100°)

9.微分方程

答案: t = 28.57 min

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

冷却常数

k = ln(71/18)/20 = 0.06862 min⁻¹

达到目标温度的时间

t = ln(71/10)/0.06862 = 28.57 min

答案

t = 28.57 min

10.微分方程

答案: y(0.75) = 0.5317

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

复根

r = −1.5 ± 2j

常数

A = 2, B = 1.5·2/2 = 1.5

求值

y(0.75) = e^−1.125(2·cos 1.5 + 1.5·sin 1.5) = 0.5317

答案

y(0.75) = 0.5317

11.矩阵与行列式

答案: det A = 181

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 16, M₁₂ = −29, M₁₃ = 2

代数余子式展开

det A = 2·16 − 5·(−29) + 2·2 = 181

答案

det A = 181

12.矩阵与行列式

答案: x = 0.25

系数矩阵的行列式

det A = (−4)·(−4) − (−2)·(−4) = 8

替换 x 列

det Aₓ = (−6)·(−4) − (−2)·(−11) = 2

x = 2/8 = 0.25

答案

x = 0.25

y = 2.5

13.向量：点积和叉积

答案: θ = 55.89 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−3)·(−5) + (−3)·3 + (−5)·(−4) = 26

模

|a| = √((−3)² + (−3)² + (−5)²) = 6.557

|b| = √((−5)² + 3² + (−4)²) = 7.071

相角

cos θ = 26/(6.557·7.071) = 0.5607

θ = arccos(0.5607) = 55.89°

答案

θ = 55.89°

14.向量：点积和叉积

答案: M_x = −20 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

从 O 到 A 的位置向量

r = A − O = (3, −3, −2) − (0, 0, 0) = (3, −3, −2) m

力矩 M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·(−20) − (−2)·(−40) = −20 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−2)·60 − 3·(−20) = −60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·(−40) − (−3)·60 = 60 N·m

所求分量

M_x = −20 N·m

答案

M_x = −20 N·m

15.概率

答案: N = 84

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

组合

C(9, 3) = (9·8·7)/(3·2·1) = 84

答案

N = 84

16.概率

答案: E(G) = 27.5 €

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

净结果

G: 40 (p = 0.25), 490 (p = 0.05), −10 (p = 0.7)

期望值

E(G) = 40·0.25 + 490·0.05 − 10·0.7 = 27.5 €

答案

E(G) = 27.5 €

正值表示平均而言你会赢钱。

17.描述统计

答案: s = 14.86

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 277/6 = 46.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = 10.83² + (−21.17)² + 10.83² + (−15.17)² + 13.83² + 0.8333² = 1105

标准差

s = √(1105/5) = 14.86

答案

s = 14.86

18.描述统计

答案: z = −1.2

标准化

z = (452 − 500)/40 = −1.2

答案

z = −1.2

19.正态分布

答案: z = 0.49

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.3759)/2 = 0.6879

反向查 z 表

在表中找到 0.6879，读出 z。

z = 0.49

答案

z = 0.49

20.正态分布

答案: x = 166.5 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.05 → z = −1.645

换算回 x

x = 178 + −1.645·7 = 166.49 cm

答案

x = 166.49 cm

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