工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (√(x² + 8x) − x)。

f(x) = √(x² + 8x) − xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = (4x + 1)⁵。求 f′(2)。

f(x) = (4x + 1)⁵x = 2

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 10.5x² + 30x + 1。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 10.5x² + 30x + 1

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₁³ 1/x dx。

f(x) = 1/x[1, 3]

I =

6.积分困难

求抛物线 y = 4 − x² 与 x 轴之间区域的面积 A。

y = 4 − x²

A =

7.复数中等

把 z = 6 + j6 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = 6 + j6

θ = rad

8.复数困难

用棣莫弗定理求 z = 1 + j√3 时 z⁶ 的实部。

z = 1 + j√3n = 6

Re(z⁶) =

9.微分方程中等

解 y″ + 8y′ + 15y = 0，其中 y(0) = 5，y′(0) = 6。求 y(1)。

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = 6

y(1) =

10.微分方程困难

解 y″ + 4y′ + 20y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(1.5)；角度以弧度为单位。

y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(1.5) =

11.矩阵与行列式中等

对所示矩阵令 C = AB。求元素 c₁₂（第 1 行，第 2 列）。

A = [−4 −2; 6 0]B = [−1 −6; −1 1]

c₁₂ =

12.矩阵与行列式困难

解方程组 x − y = 8 和 −5x − 2y = 8。求 x。

x − y = 8−5x − 2y = 8

x =

13.向量：点积和叉积中等

一个恒力 F = (−5, 30, 15) N 作用在物体上，物体沿直线从点 A(−2, −3, 0) 运动到点 B(4, 2, 5)。坐标单位为米。求该力所做的功 W。

F = (−5, 30, 15) NA(−2, −3, 0) mB(4, 2, 5) m

W = J

14.向量：点积和叉积困难

对于 a = (−4, −3, 4) 和 b = (4, 1, −6)，求叉积 a × b 的 z 分量 (a × b)_z。

a = (−4, −3, 4)b = (4, 1, −6)

(a × b)_z =

15.概率中等

一颗均匀骰子掷 7 次。至少掷出一次六点的概率 P 是多少？

n = 7

P =

16.概率困难

一份测试有 6 道选择题。一名靠猜的学生每题答对的概率为 0.4，相互独立。恰好答对 4 题的概率 P 是多少？

n = 6p = 0.4k = 4

P =

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：55, 51, 52, 40, 59。

n = 5

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 60。数值低于 575 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 60x = 575

P =

19.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 49.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 49.6 kg

P =

20.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

3溶液

1.极限

答案: L = 4

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

乘以共轭式

f(x) = 8x/(√(x² + 8x) + x)

除以 x

f(x) = 8/(√(1 + 8/x) + 1)

令 x → ∞

L = 8/(1 + 1) = 4

答案

L = 4

2.极限

答案: L = 0.6667

洛必达法则

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

代入 x = 0

L = 2/3 = 0.6667

答案

L = 0.6667

3.导数

答案: f′(2) = 131220

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

链式法则

f′(x) = 5·(4x + 1)⁴·4

代入

f′(2) = 5·9⁴·4 = 131220

答案

f′(2) = 131220

4.导数

答案: x = 2

导数

f′(x) = 3x² − 21x + 30 = 3·(x² − 7x + 10)

解 f′(x) = 0

x = 2 或 x = 5

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 21：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(2) = −9, f″(5) = 9

x = 2

答案

x = 2

5.积分

答案: I = 1.099

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = ln x

代入上下限

I = (ln 3 − ln 1) = ln 3 = 1.099

答案

I = 1.099

6.积分

答案: A = 10.67

零点

4 − x² = 0 → x = ±2

积分

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5.333 − (−5.333) = 10.67

答案

A = 10.67

7.复数

答案: θ = 0.7854 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(36 + 36) = 8.485

以弧度表示的辐角

θ = 45° = 45·π/180 = 0.7854 rad

指数形式

z = 8.485·e^j0.7854

答案

θ = 0.7854 rad

8.复数

答案: Re(z⁶) = 64

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

极坐标形式

z = 1 + j√3 = 2∠60°

棣莫弗定理

z⁶ = (2)⁶∠360° = 64∠0°

直角坐标形式

z⁶ = 64·(cos 0° + j sin 0°) = 64

Re(z⁶) = 64

答案

Re(z⁶) = 64

9.微分方程

答案: y(1) = 0.701

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

由初值求常数

A + B = 5, −3A − 5B = 6

A = 15.5, B = −10.5

求值

y(1) = 15.5·e⁻³ + (−10.5)·e⁻⁵ = 0.701

答案

y(1) = 0.701

10.微分方程

答案: y(1.5) = 0.0817

复根

r = −2 ± 4j

常数

A = 2, B = 2·2/4 = 1

求值

y(1.5) = e⁻³(2·cos 6 + 1·sin 6) = 0.0817

答案

y(1.5) = 0.0817

11.矩阵与行列式

答案: c₁₂ = 22

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

行乘列

c₁₂ = (−4)·(−6) + (−2)·1 = 22

答案

c₁₂ = 22

12.矩阵与行列式

答案: x = 1.143

系数矩阵的行列式

det A = 1·(−2) − (−1)·(−5) = −7

替换 x 列

det Aₓ = 8·(−2) − (−1)·8 = −8

x = −8/(−7) = 1.143

答案

x = 1.143

y = −6.857

13.向量：点积和叉积

答案: W = 195 J

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

位移

d = B − A = (4, 2, 5) − (−2, −3, 0) = (6, 5, 5) m

功

W = F·d = (−5)·6 + 30·5 + 15·5 = 195 J

答案

W = 195 J

14.向量：点积和叉积

答案: (a × b)_z = 8

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积，逐个分量计算

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−3)·(−6) − 4·1 = 14

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 4·4 − (−4)·(−6) = −8

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−4)·1 − (−3)·4 = 8

所求分量

(a × b)_z = 8

答案

(a × b)_z = 8

检验：a × b 与两个向量都垂直，所以它与 a 和与 b 的点积都为零。

15.概率

答案: P = 0.7209

概率：在等可能结果下，P(A) = 有利结果数/总数。独立事件相乘：P(A 且 B) = P(A)·P(B)。补事件常常有用：P(至少一个) = 1 − P(一个都没有)。二项分布：在 n 次独立试验中，成功概率为 p，P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ。

补事件

P(没有六点) = (5/6)⁷ = 0.2791

P = 1 − 0.2791 = 0.7209

答案

P = 0.7209

16.概率

答案: P = 0.1382

二项分布公式

P(X = 4) = 15·0.4⁴·0.6² = 15·0.0256·0.36 = 0.1382

答案

P = 0.1382

17.描述统计

答案: s = 7.092

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 257/5 = 51.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = 3.6² + (−0.4)² + 0.6² + (−11.4)² + 7.6² = 201.2

标准差

s = √(201.2/4) = 7.092

答案

s = 7.092

18.描述统计

答案: P = 0.8944

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944

P = 0.8944

答案

P = 0.8944

19.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 48 kg, σ_T = 0.8·√4 = 1.6 kg

标准化

z = (49.6 − 48)/1.6 = 1

概率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

20.正态分布

答案: x = 183.9 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm

答案

x = 183.89 cm

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