工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 − 2/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 − 2/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(5x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(5x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(1)。

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ + 1.5x² + 3。求局部极大值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ + 1.5x² + 3

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₀² e^−0.5x dx。

f(x) = e^−0.5x[0, 2]

I =

6.积分困难

将直线 y = 4x 与抛物线 y = 2x² 之间的区域绕 x 轴旋转。求该旋转体的体积 V。

y = 4xy = 2x²

V =

7.复数中等

已知 z₁ = 2∠70° 和 z₂ = 1.5∠−140°，求 w = z₁·z₂ 的虚部。

z₁ = 2∠70°z₂ = 1.5∠−140°

Im(w) =

8.复数困难

z³ + 8z² + 22z + 20 = 0 的一个根为 z₁ = −3 + j。系数为实数。求实根 r。

z₁ = −3 + j

r =

9.微分方程中等

一罐 6 °C 的汽水从冰箱中取出，放到 23 °C 的房间里。 8 min 后其温度为 14 °C。它遵循牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ)。求常数 k，以 min⁻¹ 计。

T₀ = 6 °CT_a = 23 °CT(8) = 14 °C

k = min⁻¹

10.微分方程困难

求解初值问题 y′ + 3y/x = 4x²，x > 0，y(1) = −2。求 y(2)。

y′ + 3y/x = 4x²y(1) = −2

y(2) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−3 −2 −3; 2 4 −4; −5 0 −3]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [5 6; −9 −10]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (4, −5, 4) 与 b = (−5, 5, 2) 的点积 a·b。

a = (4, −5, 4)b = (−5, 5, 2)

a·b =

14.向量：点积和叉积困难

单位向量 n̂ 与 a = (3, −2, 1) 和 b = (−2, −5, 5) 都垂直，且 z 分量为正。求它的 y 分量 n̂_y。

a = (3, −2, 1)b = (−2, −5, 5)n̂_z > 0

n̂_y =

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2p(x): 0.35, 0.35, 0.3

Var(X) =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €10。你以概率 0.15 赢得 €40，以概率 0.01 赢得 €200；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €10€40: p = 0.15€200: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：10, 48, 45, 41, 53, 10。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。数值低于 84 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 8x = 84

P =

19.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.9534。求 z，保留两位小数。

A = 0.9534

z =

20.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.极限

答案: L = 0.1353

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 2/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·(−2) = −2

还原对数

L = e⁻² = 0.1353

答案

L = 0.1353

2.极限

答案: L = 0.4

洛必达法则

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[5·cos 5x]

代入 x = 0

L = 2/5 = 0.4

答案

L = 0.4

3.导数

答案: f′(1) = −2.829

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(1) = 0.1411 + 3·(−0.99) = −2.829

答案

f′(1) = −2.829

4.导数

答案: x = −1

导数

f′(x) = 3x² + 3x = 3·(x² + x)

解 f′(x) = 0

x = −1 或 x = 0

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x + 3：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(−1) = −3, f″(0) = 3

x = −1

答案

x = −1

5.积分

答案: I = 1.264

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = e^−0.5x/(−0.5)

代入上下限

I = (e⁻¹ − 1)/(−0.5) = (0.3679 − 1)/(−0.5) = 1.264

答案

I = 1.264

6.积分

答案: V = 53.62

旋转体体积：把 y = f(x) 之下、从 x = a 到 x = b 的区域绕 x 轴旋转，得到一个旋转体，它在 x 处的横截面是半径为 f(x) 的圆盘。把圆盘相加得 V = π∫ₐᵇ f(x)² dx。当区域位于外曲线 R(x) 与内曲线 r(x) 之间时，每个薄片是一个垫圈：V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx。相减之前要先把半径平方。

交点

4x = 2x² → x = 0, x = 2

垫圈法

V = π∫₀² ((4x)² − (2x²)²) dx

积分

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17.07 = 53.62

答案

V = 53.62

7.复数

答案: Im(w) = −2.819

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

w 的模和辐角

|w| = 2 · 1.5 = 3

θ = 70° + (−140)° = −70°

直角坐标形式

Re(w) = 3·cos(−70°) = 1.026

Im(w) = 3·sin(−70°) = −2.819

Im(w) = −2.819

答案

Im(w) = −2.819

8.复数

答案: r = −2

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

共轭对

z₂ = −3 − j

(z − z₁)(z − z₂) = z² − 2·(−3)·z + ((−3)² + 1²) = z² + 6z + 10

提取二次因式

z³ + 8z² + 22z + 20 = (z² + 6z + 10)(z + 2)

实根

r = −2

答案

r = −2

用根之和检验：z₁ + z₂ + r = −6 + (−2) = −8 = −(8)。

9.微分方程

答案: k = 0.0795 min⁻¹

一阶微分方程：dy/dt = k·y 的解为 y = y₀·e^kt（k > 0 时增长，k < 0 时衰减）；半衰期 T 对应 k = ln 2/T。牛顿冷却定律 dT/dt = −k·(T − Tₐ) 给出 T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt。线性方程 y′ + p(x)·y = q(x) 用积分因子 μ = e^{∫p dx} 求解：(μy)′ = μq，所以 μy = ∫μq dx + C。

温差之比

e^−8k = -9/-17

解出 k

k = ln(-17/-9)/8 = 0.0795 min⁻¹

答案

k = 0.0795 min⁻¹

10.微分方程

答案: y(2) = 5

积分因子

μ = e^{∫3/x dx} = x³

积分

(x³y)′ = 4x⁵ → x³y = 4x⁶/6 + C

初始条件

−2 = 4/6 + C → C = −2.667

求值

y(2) = (4·2⁶/6 + (−2.667))/2³ = 5

答案

y(2) = 5

11.矩阵与行列式

答案: det A = −76

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = −12, M₁₂ = −26, M₁₃ = 20

代数余子式展开

det A = (−3)·(−12) − (−2)·(−26) + (−3)·20 = −76

答案

det A = −76

12.矩阵与行列式

答案: λ = −1

特征方程

λ² − (−5)λ + (4) = 0

求解

λ = (−5 ± √(9))/2 → λ = −4, −1

λ = −1

答案

λ = −1

13.向量：点积和叉积

答案: a·b = −37

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

对应分量相乘再相加

a·b = 4·(−5) + (−5)·5 + 4·2 = (−20) + (−25) + 8 = −37

答案

a·b = −37

为负：两向量的夹角大于 90°。

14.向量：点积和叉积

答案: n̂_y = 0.6543

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

叉积

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·5 − 1·(−5) = −5

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 1·(−2) − 3·5 = −17

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·(−5) − (−2)·(−2) = −19

归一化

a × b 的 z 分量为负，所以要用 −(a × b)。

|a × b| = √((−5)² + (−17)² + (−19)²) = 25.98

n̂ = −(−5, −17, −19)/25.98 = (0.1925, 0.6543, 0.7313)

n̂_y = 0.6543

答案

n̂_y = 0.6543

15.概率

答案: Var(X) = 0.6475

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.35 + 1·0.35 + 2·0.3 = 0.95

平方的均值

E(X²) = 0·0.35 + 1·0.35 + 4·0.3 = 1.55

方差

Var(X) = 1.55 − 0.95² = 0.6475

答案

Var(X) = 0.6475

16.概率

答案: E(G) = −2 €

净结果

G: 30 (p = 0.15), 190 (p = 0.01), −10 (p = 0.84)

期望值

E(G) = 30·0.15 + 190·0.01 − 10·0.84 = −2 €

答案

E(G) = −2 €

负值表示平均而言你会亏钱。

17.描述统计

答案: s = 19.38

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 207/6 = 34.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−24.5)² + 13.5² + 10.5² + 6.5² + 18.5² + (−24.5)² = 1878

标准差

s = √(1878/5) = 19.38

答案

s = 19.38

18.描述统计

答案: P = 0.02275

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275

P = 0.02275

答案

P = 0.02275

19.正态分布

答案: z = 1.99

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.9534)/2 = 0.9767

反向查 z 表

在表中找到 0.9767，读出 z。

z = 1.99

答案

z = 1.99

20.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

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