工程数学：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

极限

直接代入: 先试 x = a；得到 0/0 说明需要化简
因式分解并约去: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
共轭: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
无穷远处的极限: 除以 x 的最高次幂；次数相同时极限为首项系数之比
重要极限: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
洛必达法则: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

导数

幂法则: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
乘积法则: (uv)′ = u′v + uv′
商法则: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
链式法则: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
常用导数: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

方法

识别结构：和、积、商还是复合。
对 x 的每个幂应用幂法则。
需要时使用乘积法则、商法则或链式法则。
化简，如有要求再代入该点求值。

积分

幂法则: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
定积分: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
常用积分: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
曲线间的面积: ∫_a^b (f − g) dx

方法

尽可能把被积函数改写为简单项之和。
应用幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)，以及 e^x、1/x、sin 和 cos 的基本积分。
当看到一个函数和它的导数同时出现时，用换元法。
对于定积分，计算 F(b) − F(a)。

复数

直角坐标形式: z = a + jb, j² = −1, z̄ = a − jb
模与辐角: |z| = √(a² + b²), tan θ = b/a (check the quadrant)
极坐标形式与指数形式: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ
除法: z₁/z₂ = z₁z̄₂/|z₂|²
乘积与商: r₁∠θ₁ · r₂∠θ₂ = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂), r₁∠θ₁ / r₂∠θ₂ = (r₁/r₂)∠(θ₁ − θ₂)
棣莫弗定理: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ
n 次方根: z_k = R^1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0 … n − 1
p² < 4q 的二次方程: z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

方法

根据运算选择合适的形式：加减用直角坐标形式 a + jb，乘除、乘方和开方用极坐标形式 r∠θ。
展开相乘时使用 j² = −1；做除法时把分子和分母同乘以分母的共轭。
用 r = √(a² + b²) 转换，θ 通过画出点 (a, b) 的草图得到（注意象限），再用 a = r cos θ，b = r sin θ 换回去。
乘方用棣莫弗定理，(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ；对于 zⁿ = R∠φ，列出全部 n 个根 R^1/n∠((φ + 360°k)/n)。

微分方程

指数增长/衰减: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
半衰期: k = ln 2 / t_½
牛顿冷却定律: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
积分因子: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
混合槽: dm/dt = r·c − (r/V)·m

矩阵与行列式

2×2 行列式: det = ad − bc
2×2 逆矩阵: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
产品: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
特征值: det(A − λI) = 0
克拉默法则: x_i = det(A_i)/det(A)

向量：点积和叉积

模: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
单位向量: û = a/|a|
由角度求分量: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
点积: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a 在 b 上的标量投影: a·b/|b|
功: W = F·d
叉积: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
面积: 平行四边形 |a × b|，三角形 ½|a × b|
对 O 的力矩: M_O = r × F, r = A − O
平行六面体的体积: V = |a·(b × c)|

方法

把每个向量都写成分量形式；对于由大小和角度给出的力，用 F·cos θ 和 F·sin θ。
求长度和方向时，用模 √(x² + y² + z²) 和单位向量 a/|a|。
求夹角、投影、垂直关系和功时，用点积：a·b = |a||b|cos θ。
求垂直向量、面积和力矩时，用叉积：仔细写出三个分量，并保持 a × b 的顺序。

概率

补事件: P(not A) = 1 − P(A)
加法公式: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
独立事件: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
条件概率: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
二项分布: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.极限中等

求极限 L = lim_x→∞ (1 + 1/x)^x。给出小数值。

f(x) = (1 + 1/x)^xx → ∞

L =

2.极限困难

求极限 L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(5x)，x 以弧度计。

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(5x)x → 0

L =

3.导数中等

设 f(x) = x·sin(3x)，x 以弧度计。求 f′(2)。

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.导数困难

设 f(x) = x³ − 6x² − 4。求局部极小值点的 x 坐标 x。

f(x) = x³ − 6x² − 4

x =

5.积分中等

计算 I = ∫₂⁴ 4/x dx。

f(x) = 4/x[2, 4]

I =

6.积分困难

求由 y = 2x² 和 y = 3x 围成区域的面积 A。

y = 2x²y = 3x

A =

7.复数中等

把 z = 2 − j5 写成指数形式 r·e^jθ。θ 以弧度给出，取 −π 到 π 之间。

z = 2 − j5

θ = rad

8.复数困难

A–D 各点中恰有一个是 z³ = 8∠60° 的根。点选它。

w = 8∠60°n = 3

1A (2∠20°)
2B (2∠50°)
3C (1∠20°)
4D (2∠−10°)

9.微分方程中等

解 y″ + 3y′ + 2y = 0，其中 y(0) = 2，y′(0) = 1。求 y(0.5)。

y″ + 3y′ + 2y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(0.5) =

10.微分方程困难

解 y″ + 3y′ + 6.25y = 0，其中 y(0) = 3，y′(0) = 0（从静止释放）。求 y(0.75)；角度以弧度为单位。

y″ + 3y′ + 6.25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.75) =

11.矩阵与行列式中等

求所示 3×3 矩阵 A 的行列式 det A。

A = [−4 −4 −2; 4 5 −4; 0 2 5]

det A =

12.矩阵与行列式困难

求所示矩阵 A 的较大特征值 λ。

A = [0 2; 3 5]

λ =

13.向量：点积和叉积中等

求 a = (−6, −5, −4) 在 b = (−3, 3, 1) 上的标量投影 comp_b a，也就是 a 在 b 方向上的分量。

a = (−6, −5, −4)b = (−3, 3, 1)

comp_b a =

14.向量：点积和叉积困难

求顶点为 A(4, 2, −2)、B(1, 0, −3)、C(1, −1, 4) 的三角形的面积 A。坐标单位为米。

A(4, 2, −2)B(1, 0, −3)C(1, −1, 4)

A = m²

15.概率中等

对图中的分布，求 X 的方差 Var(X)。

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0.2, 0.1, 0.2, 0.25, 0.25

Var(X) =

16.概率困难

一局游戏的参与费用为 €1。你以概率 0.25 赢得 €3，以概率 0.01 赢得 €20；其余情况什么也赢不到。赌注不退还。求每局的期望净收益 E(G)。

赌注 = €1€3: p = 0.25€20: p = 0.01

E(G) = €

17.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：12, 57, 19, 15, 52, 37。

n = 6

s =

18.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。数值高于 40.4 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 12x = 40.4

P =

19.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 117.5 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 10> 117.5 kg

P =

20.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 99%

x = min

3溶液

1.极限

答案: L = 2.718

极限：先尝试直接代入。若得到 0/0，先化简：因式分解并约去公因式，或乘以共轭式。当 x → ∞ 时，分子分母同除以 x 的最高次幂。洛必达法则：若 f/g 为 0/0 或 ∞/∞ 型，则 lim f/g = lim f′/g′，分子和分母分别求导（不是用商法则）。

取对数

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 1/x)

求值

当 u → 0 时 ln(1 + u)/u → 1，所以 x·ln(1 + a/x) → a。

ln L = 1·1 = 1

还原对数

L = e¹ = 2.718

答案

L = 2.718

2.极限

答案: L = 0.8

洛必达法则

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[5·cos 5x]

代入 x = 0

L = 4/5 = 0.8

答案

L = 0.8

3.导数

答案: f′(2) = 5.482

求导：导数 f′(x) 是图像在 x 处的斜率。幂法则：(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。乘积法则：(uv)′ = u′v + uv′。链式法则：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。在 f′(x) = 0 处，图像有水平切线：极大值、极小值或鞍点。

乘积法则与链式法则

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

代入

f′(2) = −0.2794 + 6·0.9602 = 5.482

答案

f′(2) = 5.482

4.导数

答案: x = 4

导数

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

解 f′(x) = 0

x = 0 或 x = 4

判断哪个是哪个

f″(x) = 6x − 12：在极大值处为负，在极小值处为正。

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

答案

x = 4

5.积分

答案: I = 2.773

定积分：∫ₐᵇ f(x) dx 是从 a 到 b 图像与 x 轴之间的有向面积。求一个原函数 F（F′ = f），再计算 F(b) − F(a)。幂法则：∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)。两条曲线之间的面积为 ∫(上 − 下) dx。

原函数

F(x) = 4·ln x

代入上下限

I = 4·(ln 4 − ln 2) = 4·ln 2 = 2.773

答案

I = 2.773

6.积分

答案: A = 1.125

交点

2x² = 3x → x = 0, x = 1.5

对上减下积分

A = [1.5x² − 0.6667x³]₀^1.5 = 1.125

答案

A = 1.125

7.复数

答案: θ = −1.19 rad

极坐标形式：z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·e^jθ，其中 r = |z|，θ = arg z。换回直角坐标形式：a = r cos θ，b = r sin θ。求辐角需要考虑象限：仅当 a > 0 时 θ = atan(b/a)；当 a < 0 时要加上或减去 180°。在极坐标形式下乘法很简单：模相乘，辐角相加；除法则模相除，辐角相减。

模

r = √(4 + 25) = 5.385

以弧度表示的辐角

θ = −68.2° = −68.2·π/180 = −1.19 rad

指数形式

z = 5.385·e^−j1.19

答案

θ = −1.19 rad

8.复数

答案: A (2∠20°)

棣莫弗定理与方根：(r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ。方程 zⁿ = R∠φ 恰有 n 个根，模都是 R^1/n，辐角为 (φ + 360°·k)/n，k = 0, 1, …, n − 1：它们均匀分布在一个圆上，相隔 360°/n。当 p² < 4q 时，二次方程 z² + pz + q = 0 有复根 z = −p/2 ± j√(q − p²/4)；实系数多项式的复根总是成共轭对 a ± jb 出现。

根的模与辐角

|z| = 2

θ = 20°, 140°, −100°

该点

A = 2∠20°

答案

A (2∠20°)

9.微分方程

答案: y(0.5) = 1.929

二阶线性方程：对 y″ + b·y′ + c·y = 0，试 y = e^rt：得到特征方程 r² + b·r + c = 0。两个不等实根 r₁ ≠ r₂ 给出 y = A·e^r₁t + B·e^r₂t（过阻尼）；二重根 r 给出 y = (A + Bt)·e^rt（临界阻尼）；复根 −α ± jω 给出 y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt)（欠阻尼，振荡）。初值 y(0) 和 y′(0) 决定 A 和 B。写成 y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 时，ω_n 是固有频率，ζ 是阻尼比：ζ < 1 时振荡。在常值输入下，y″ + by′ + cy = c·K 的解是稳态值 K 加上自由响应。

特征根

(r + 1)(r + 2) = 0 → r = −1, −2

由初值求常数

A + B = 2, −1A − 2B = 1

A = 5, B = −3

求值

y(0.5) = 5·e^−0.5 + (−3)·e⁻¹ = 1.929

答案

y(0.5) = 1.929

10.微分方程

答案: y(0.75) = 0.7975

复根

r = −1.5 ± 2j

常数

A = 3, B = 1.5·3/2 = 2.25

求值

y(0.75) = e^−1.125(3·cos 1.5 + 2.25·sin 1.5) = 0.7975

答案

y(0.75) = 0.7975

11.矩阵与行列式

答案: det A = −68

矩阵：2×2 矩阵的行列式为 ad − bc。对于 3×3，按某一行展开：每个元素乘以划去其所在行和列后剩下的 2×2 矩阵的行列式，符号按 + − + 交替。特征值 λ 满足 det(A − λI) = 0；对于 2×2，即 λ² −（迹）·λ + det = 0。

第一行的 2×2 余子式

M₁₁ = 33, M₁₂ = 20, M₁₃ = 8

代数余子式展开

det A = (−4)·33 − (−4)·20 + (−2)·8 = −68

答案

det A = −68

12.矩阵与行列式

答案: λ = 6

特征方程

λ² − (5)λ + (−6) = 0

求解

λ = (5 ± √(49))/2 → λ = −1, 6

λ = 6

答案

λ = 6

13.向量：点积和叉积

答案: comp_b a = −0.2294

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

点积

a·b = (−6)·(−3) + (−5)·3 + (−4)·1 = −1

b 的长度

|b| = √((−3)² + 3² + 1²) = 4.359

标量投影

comp_b a = a·b/|b| = −1/4.359 = −0.2294

答案

comp_b a = −0.2294

为负：a 有一个与 b 方向相反的分量。

14.向量：点积和叉积

答案: A = 12.99 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

边向量

AB = B − A = (−3, −2, −1)

AC = C − A = (−3, −3, 6)

叉积

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−2)·6 − (−1)·(−3) = −15

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = (−1)·(−3) − (−3)·6 = 21

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−3)·(−3) − (−2)·(−3) = 3

|AB × AC| = √((−15)² + 21² + 3²) = 25.98

三角形的面积

A = ½·25.98 = 12.99 m²

答案

A = 12.99 m²

15.概率

答案: Var(X) = 2.088

离散随机变量：概率分布列出变量能取的每个值 x 及其概率 p(x)；概率介于 0 和 1 之间，且总和为 1。期望值（均值）是 E(X) = Σx·p(x)，即长期平均值。方差为 Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²，标准差为 σ = √Var(X)。对线性变换 Y = aX + b：E(Y) = a·E(X) + b，Var(Y) = a²·Var(X)，σ_Y = |a|·σ_X；加上常数不会改变离散程度。

平均数

μ = 0·0.2 + 1·0.1 + 2·0.2 + 3·0.25 + 4·0.25 = 2.25

平方的均值

E(X²) = 0·0.2 + 1·0.1 + 4·0.2 + 9·0.25 + 16·0.25 = 7.15

方差

Var(X) = 7.15 − 2.25² = 2.088

答案

Var(X) = 2.088

16.概率

答案: E(G) = −0.05 €

净结果

G: 2 (p = 0.25), 19 (p = 0.01), −1 (p = 0.74)

期望值

E(G) = 2·0.25 + 19·0.01 − 1·0.74 = −0.05 €

答案

E(G) = −0.05 €

负值表示平均而言你会亏钱。

17.描述统计

答案: s = 19.53

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 192/6 = 32

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−20)² + 25² + (−13)² + (−17)² + 20² + 5² = 1908

标准差

s = √(1908/5) = 19.53

答案

s = 19.53

18.描述统计

答案: P = 0.7881

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119

P = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

19.正态分布

答案: P = 0.8389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 120 kg, σ_T = 0.8·√10 = 2.53 kg

标准化

z = (117.5 − 120)/2.53 = −0.99

概率

P = 1 − Φ(−0.99) = 0.8389

答案

P = 0.8389

20.正态分布

答案: x = 45.96 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 32 + 2.326·6 = 45.96 min

答案

x = 45.96 min

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