循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露157281ab未暴露53239cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 210 名患某病的患者（病例）和 520 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 157b = 281c = 53d = 239
OR =
2.循证实践统计学困难
检验前15%检验后?p′LR+

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 15%。一项灵敏度为 76%、特异度为 72% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 15%Se = 76%Sp = 72%正数
p′ = %
3.描述统计中等
152025303540455055

求数据的样本标准差 s：44, 18, 11, 47, 47, 56, 38。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 500，标准差为 40。数值低于 460 的比例 P 是多少？

μ = 500σ = 40x = 460
P =
5.置信区间中等
n = 16, s = 4LUx̄ = 111E = ?99%

一个包含 16 个个体的样本，均值为 111，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 16x̄ = 111s = 499%t(15) = 2.947
E =
6.置信区间困难
n = 21Lσ = ?s = 11.195%

21 根机加工轴的直径样本标准差为 11.1 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的上限 σ。df = 20 时，χ² 分布有 2.5% 位于 9.591 以下，2.5% 位于 34.17 以上。

n = 21s = 11.1 µmχ² = 9.591, 34.17
σ = µm
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 90 mm，该生产线的已知标准差为 15 mm。生产线 2：50 个零件的样本均值为 87.1 mm，已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 60x̄₁ = 90 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 50x̄₂ = 87.1 mmσ₂ = 10 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
σ = 8, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1.590%

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 1.5？标准差为 8。求最小样本量 n。

σ = 8E = 1.590%
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 2.52

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 157/53 = 2.962
对照: 281/239 = 1.176

比值比

OR = (157·239)/(281·53) = 2.52

答案

OR = 2.52

OR 大于 1：暴露在病例中更常见。

2.循证实践统计学

答案: p′ = 32.4 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR+ = 0.76/(1 − 0.72) = 2.714

检验前比值

0.15/(1 − 0.15) = 0.1765

检验后比值

0.1765·2.714 = 0.479

检验后概率

p′ = 0.479/(1 + 0.479) = 0.3239 ≈ 32.4%

答案

p′ = 32.4%
3.描述统计

答案: s = 16.57

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 261/7 = 37.29

离差平方

Σ(x − x̄)² = 6.714² + (−19.29)² + (−26.29)² + 9.714² + 9.714² + 18.71² + 0.7143² = 1647

标准差

s = √(1647/6) = 16.57

答案

s = 16.57
4.描述统计

答案: P = 0.1587

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587

答案

P = 0.1587
5.置信区间

答案: E = 2.947

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 15, t = 2.947

误差范围

E = 2.947·4/√16 = 2.947

答案

E = 2.947
6.置信区间

答案: σ = 16.03 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 20·11.1² = 2464

σ² 的限值

2464/34.17 = 72.12
2464/9.591 = 256.9

σ 的限值

σ = √256.9 = 16.03 µm

答案

σ = 16.03 µm

σ 的 95% 区间：[8.492, 16.03] µm。

7.假设检验与置信区间

答案: z = 1.209

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(15²/60 + 10²/50) = √5.75 = 2.398

检验统计量

z = (90 − 87.1)/2.398 = 1.209

答案

z = 1.209

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 77

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.645·8/1.5)² = 76.97

向上取整

n = 77

答案

n = 77

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