循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗220430650ab对照88252340cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，650 名患者接受新疗法，340 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了副作用。 求需要伤害人数NNH：需要治疗多少名患者，才会多出一名患者发生该副作用？ 向上取整到整数患者。

治疗: 220/650对照: 88/340
NNH =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数?负数总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 98%、特异度为 76% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 27%。 预期总共会有多少阳性结果n₊？

N = 10 000p = 27%Se = 98%Sp = 76%
n₊ =
3.描述统计中等
2025303540455055

求数据的样本标准差 s：53, 45, 26, 19, 29, 59。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。求成绩 115 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 15x = 115
z =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：50 部手机，均值 79.5 h，已知标准差 9 h。型号 2：30 部手机，均值 72 h，已知标准差 12 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 50x̄₁ = 79.5 hσ₁ = 9 hn₂ = 30x̄₂ = 72 hσ₂ = 12 h95%
E = h
6.置信区间困难
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02595%

事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？

p = 0.5E = 0.02595%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−2.1792.179t = ?df = 12

比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 27，标准差 9.5。第 2 组：7 名学生，平均分 29.8，标准差 4.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 7x̄₁ = 27s₁ = 9.5n₂ = 7x̄₂ = 29.8s₂ = 4.5
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 250 名患者中有 88 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 50 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 88n₁ = 250x₂ = 50n₂ = 200
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: NNH = 13

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 220/650 = 0.3385
CER = 88/340 = 0.2588

需要伤害人数

ARI = 0.3385 − 0.2588 = 0.07964
NNH = 1/0.07964 = 12.56 → 13

答案

NNH = 13

每治疗约 13 名患者，就有一名患者因治疗而出现该副作用。

2.循证实践统计学

答案: n₊ = 4398

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.27 = 2700
10 000 − 2700 = 7300

所有阳性结果

TP = 2700·0.98 = 2646
FP = 7300·0.24 = 1752
n₊ = 2646 + 1752 = 4398

答案

n₊ = 4398

在 4398 个阳性结果中，只有 2646 人患病（PPV 60.2%）。

3.描述统计

答案: s = 16.12

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 231/6 = 38.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14.5² + 6.5² + (−12.5)² + (−19.5)² + (−9.5)² + 20.5² = 1300

标准差

s = √(1300/5) = 16.12

答案

s = 16.12
4.描述统计

答案: z = 1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (115 − 100)/15 = 1

答案

z = 1
5.置信区间

答案: E = 4.966 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 79.5 − 72 = 7.5

标准误

SE = √(9²/50 + 12²/30) = 2.534

误差范围

E = 1.96·2.534 = 4.966

答案

E = 4.966 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

6.置信区间

答案: n = 1537

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.5·0.5/0.025² = 1537

向上取整

n = 1537

答案

n = 1537
7.假设检验与置信区间

答案: t = −0.7047

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

sp² = (6·9.5² + 6·4.5²)/12 = 55.25
sp = 7.433

标准误

SE = 7.433·√(1/7 + 1/7) = 3.973

检验统计量

t = (27 − 29.8)/3.973 = −0.7047

答案

t = −0.7047

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: z = 2.332

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 88/250 = 0.352
p̂₂ = 50/200 = 0.25
p̂ = 138/450 = 0.3067

H₀ 下的标准误

SE = √(0.3067·0.6933·(1/250 + 1/200)) = 0.04374

检验统计量

z = (0.352 − 0.25)/0.04374 = 2.332

答案

z = 2.332

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

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