循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
人年1110523601.5新发病例34

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，不同人群被随访了不同的时间长度（见表：每组的人数和随访年数）。随访期间发生了 34 例新发病例。求发病率IR，每 1000 人年。 保留一位小数。

110 × 5 年360 × 1.5 年34 新发病例
IR = 每 1000 人年
2.循证实践统计学困难
检验前10%检验后?p′LR+

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 10%。一项灵敏度为 81%、特异度为 73% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 10%Se = 81%Sp = 73%正数
p′ = %
3.描述统计中等
152025303540455055

求数据的样本标准差 s：12, 53, 32, 58, 16, 42。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 5。数值低于 162.5 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 5x = 162.5
P =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E90%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 137.5 h，已知标准差 6 h。型号 2：40 部手机，均值 134.5 h，已知标准差 7 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的下限。

n₁ = 80x̄₁ = 137.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 40x̄₂ = 134.5 hσ₂ = 7 h90%
下限 = h
6.置信区间困难
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0290%

事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.02？

p = 0.5E = 0.0290%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −1.99801.998

64 名学生的样本平均分为 202.1，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 202.1s = 8n = 64
t =
8.假设检验与置信区间困难
z −1.64501.645

100 次测量的样本均值为 97.5。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的上限 U。

x̄ = 97.5σ = 15n = 10090%
U =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IR = 31.2 每 1000 人年

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

人年

PY = 110·5 + 360·1.5 = 1090

发病率

IR = 34/1090·1000 = 31.2 每 1000 人年

答案

IR = 31.2 每 1000 人年
2.循证实践统计学

答案: p′ = 25 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR+ = 0.81/(1 − 0.73) = 3

检验前比值

0.1/(1 − 0.1) = 0.1111

检验后比值

0.1111·3 = 0.3333

检验后概率

p′ = 0.3333/(1 + 0.3333) = 0.25 = 25%

答案

p′ = 25%
3.描述统计

答案: s = 18.97

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 213/6 = 35.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−23.5)² + 17.5² + (−3.5)² + 22.5² + (−19.5)² + 6.5² = 1800

标准差

s = √(1800/5) = 18.97

答案

s = 18.97
4.描述统计

答案: P = 0.06681

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 0.06681

答案

P = 0.06681
5.置信区间

答案: 下限 = 0.871 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 137.5 − 134.5 = 3

标准误

SE = √(6²/80 + 7²/40) = 1.294

误差范围

E = 1.645·1.294 = 2.129

区间

3 ± 2.129 → [0.871, 5.129]

答案

下限 = 0.871 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

6.置信区间

答案: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.5·0.5/0.02² = 1691

向上取整

n = 1692

答案

n = 1692
7.假设检验与置信区间

答案: t = 2.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

检验统计量

t = (202.1 − 200)/1 = 2.1

答案

t = 2.1
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: U = 99.97

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·15/√100 = 2.468

区间端点

U = 97.5 + 2.468 = 99.97

答案

U = 99.97

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