循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
检测有疾病无疾病总数正数70684754ab负数3012161246cd总数10019002000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项研究将一种新检测与参考标准进行了比较（见 2 × 2 表）。 求阴性似然比LR−。 保留两位小数。

a = 70b = 684c = 30d = 1216
LR− =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数负数?总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 81%、特异度为 87% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 14%。 有多少患病者被这项检测漏掉了（假阴性，FN）？

N = 10 000p = 14%Se = 81%Sp = 87%
FN =
3.描述统计中等
152025303540

求数据的样本标准差 s：13, 36, 43, 27, 31, 41。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 40 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 5x = 40
z =
5.置信区间中等
n = 30, s = 16.5LU = ?x̄ = 85.5E99%

一个包含 30 个个体的样本，均值为 85.5，标准差 s = 16.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的上限。

n = 30x̄ = 85.5s = 16.599%t(29) = 2.756
上限 =
6.置信区间困难
p ≈ 0.7, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02590%

一项预研究表明，约有 0.7 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.025？

p ≈ 0.7E = 0.02590%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −2.0302.03

36 名学生的样本平均分为 497.1，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 497.1s = 8n = 36
t =
8.假设检验与置信区间困难
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0.05βσ = 29, 功效 80%, n = ?

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 4 个单位的偏移。标准差为 29。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 80%δ = 4σ = 29zα = 1.645zβ = 0.842
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: LR− = 0.47

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

灵敏度和特异度

Se = 70/100 = 0.7
Sp = 1216/1900 = 0.64

阴性似然比

LR− = (1 − 0.7)/0.64 = 0.4688 ≈ 0.47

答案

LR− = 0.47
2.循证实践统计学

答案: FN = 266

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.14 = 1400
10 000 − 1400 = 8600

假阴性

FN = 1400·0.19 = 266

答案

FN = 266
3.描述统计

答案: s = 11

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 191/6 = 31.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−18.83)² + 4.167² + 11.17² + (−4.833)² + (−0.8333)² + 9.167² = 604.8

标准差

s = √(604.8/5) = 11

答案

s = 11
4.描述统计

答案: z = −2

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (40 − 50)/5 = −2

答案

z = −2
5.置信区间

答案: 上限 = 93.8

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.756

误差范围

E = 2.756·16.5/√30 = 8.302

区间

85.5 ± 8.302 → [77.2, 93.8]

答案

上限 = 93.8
6.置信区间

答案: n = 910

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.7·0.3/0.025² = 909.2

向上取整

n = 910

答案

n = 910
7.假设检验与置信区间

答案: t = −2.175

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√36 = 8/6 = 1.333

检验统计量

t = (497.1 − 500)/1.333 = −2.175

答案

t = −2.175
t0.025; df = 35 = 2.03

|t| > 2.03，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 326

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 0.842)·29/4)² = 325.1

向上取整

n = 326

答案

n = 326

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