循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗17273290ab对照77433510cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，290 名患者接受新疗法，510 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求相对风险降低RRR，以百分数表示。 保留一位小数。

治疗: 17/290对照: 77/510
RRR = %
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)15%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 74%，特异度为 85%。它用于患病率为 15% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 74%Sp = 85%p = 15%
PPV = %
3.描述统计中等
10152025303540455055

求数据的样本标准差 s：14, 45, 10, 48, 55。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值高于 52 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 52
P =
5.置信区间中等
n = 9, s = 11L = ?Ux̄ = 86E95%

一个包含 9 个个体的样本，均值为 86，标准差 s = 11。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 9x̄ = 86s = 1195%t(8) = 2.306
下限 =
6.置信区间困难
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

总体标准差为 15。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 15E = 0.595%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −2.06402.064

25 名学生的样本平均分为 56.3，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 56.3s = 15n = 25
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 110 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 207 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 110n₁ = 200x₂ = 207n₂ = 300
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: RRR = 61.2 %

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 17/290 = 0.05862
CER = 77/510 = 0.151

相对风险降低

ARR = 0.151 − 0.05862 = 0.09236
RRR = 0.09236/0.151 = 0.6117 ≈ 61.2%

答案

RRR = 61.2%
2.循证实践统计学

答案: PPV = 46.5 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.74·0.15 = 0.111
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.15·0.85 = 0.1275

阳性预测值

PPV = 0.111/(0.111 + 0.1275) = 0.4654 ≈ 46.5%

答案

PPV = 46.5%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 20.82

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 172/5 = 34.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−20.4)² + 10.6² + (−24.4)² + 13.6² + 20.6² = 1733

标准差

s = √(1733/4) = 20.82

答案

s = 20.82
4.描述统计

答案: P = 0.8849

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1.2

标准正态分布表

Φ(−1.2) = 0.1151
P = 1 − 0.1151 = 0.8849

答案

P = 0.8849
5.置信区间

答案: 下限 = 77.54

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 8, t = 2.306

误差范围

E = 2.306·11/√9 = 8.455

区间

86 ± 8.455 → [77.54, 94.46]

答案

下限 = 77.54
6.置信区间

答案: n = 3458

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·15/0.5)² = 3457

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 3458

答案

n = 3458
7.假设检验与置信区间

答案: t = 2.1

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

检验统计量

t = (56.3 − 50)/3 = 2.1

答案

t = 2.1
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = −3.184

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 110/200 = 0.55
p̂₂ = 207/300 = 0.69
p̂ = 317/500 = 0.634

H₀ 下的标准误

SE = √(0.634·0.366·(1/200 + 1/300)) = 0.04397

检验统计量

z = (0.55 − 0.69)/0.04397 = −3.184

答案

z = −3.184

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

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