1公式与方法
循证实践统计学
- 灵敏度和特异度
- Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
- 预测值
- PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
- 准确度
- (a + d)/n
- 似然比
- LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
- 患病率为 p 时的 PPV
- Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
- 比值
- 比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
- 风险指标
- RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
- 需要治疗人数
- NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
- 比值比
- OR = ad/(bc)
- 发病率
- 新发病例 / 人时
方法
- 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
- 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
- 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
- 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
- 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。
描述统计
- 平均数
- x̄ = Σx/n
- 样本标准差
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- 中位数
- 排序后数据的中间值
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 正态分布
- 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内
置信区间
- σ 已知
- x̄ ± z·σ/√n
- σ 未知
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- 临界 z 值
- 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
- 样本量
- n = (z·σ/E)², rounded up
方法
- 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
- 求该置信水平下的临界值。
- 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
- 区间：x̄ ± E。
假设检验与置信区间
- 均值的 z 检验
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- 均值的 t 检验
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% 双侧
- 若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
- 置信区间
- x̄ ± z·σ/√n
方法
- 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
- 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
- 与临界值比较，或求出 p 值。
- 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。
2练习题
1.循证实践统计学中等
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，410 名患者接受新疗法，150 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求相对风险降低RRR，以百分数表示。 保留一位小数。
治疗: 15/410对照: 8/150
RRR = %
2.循证实践统计学困难
练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 90%，特异度为 82%。它用于患病率为 0.5% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。
Se = 90%Sp = 82%p = 0.5%
PPV = %
3.描述统计中等
求数据的样本标准差 s：37, 36, 37, 35, 23, 40, 18。
n = 7
s =
4.描述统计困难
考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。求成绩 593.8 的 z 分数 z。
μ = 500σ = 75x = 593.8
z =
5.置信区间中等
一个包含 21 个个体的样本，均值为 59.5，标准差 s = 7.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。
n = 21x̄ = 59.5s = 7.599%t(20) = 2.845
下限 =
6.置信区间困难
总体标准差为 28。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 99% 置信区间的误差范围不超过 2.5？
σ = 28E = 2.599%
n =
7.假设检验与置信区间中等
25 名学生的样本平均分为 55.76，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。
μ₀ = 50x̄ = 55.76s = 12n = 25
t =
8.假设检验与置信区间困难
样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.5？标准差为 15。求最小样本量 n。
σ = 15E = 0.590%
n =
3溶液
1.循证实践统计学
答案: RRR = 31.4 %
似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。
事件发生率
EER = 15/410 = 0.03659
CER = 8/150 = 0.05333
相对风险降低
ARR = 0.05333 − 0.03659 = 0.01675
RRR = 0.01675/0.05333 = 0.314 ≈ 31.4%
2.循证实践统计学
答案: PPV = 2.5 %
预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。
真阳性和假阳性（按每人计）
Se·p = 0.9·0.005 = 0.0045
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.18·0.995 = 0.1791
阳性预测值
PPV = 0.0045/(0.0045 + 0.1791) = 0.02451 ≈ 2.5%
3.描述统计
答案: s = 8.321
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
离差平方
Σ(x − x̄)² = 4.714² + 3.714² + 4.714² + 2.714² + (−9.286)² + 7.714² + (−14.29)² = 415.4
4.描述统计
答案: z = 1.25
描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。
标准化
z = (593.8 − 500)/75 = 1.25
5.置信区间
答案: 下限 = 54.84
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
临界值
df = n − 1 = 20, t = 2.845
误差范围
E = 2.845·7.5/√21 = 4.656
区间
59.5 ± 4.656 → [54.84, 64.16]
6.置信区间
答案: n = 833
均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。
解出 n
n = (2.576·28/2.5)² = 832.4
7.假设检验与置信区间
答案: t = 2.4
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
检验统计量
t = (55.76 − 50)/2.4 = 2.4
t = 2.4
t0.025; df = 24 = 2.064
|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。
8.假设检验与置信区间
答案: n = 2436
均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。
解出 n
n = (1.645·15/0.5)² = 2435