循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露15175ab未暴露6955cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 220 名患某病的患者（病例）和 130 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 151b = 75c = 69d = 55
OR =
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)1%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 88%，特异度为 87%。它用于患病率为 1% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 88%Sp = 87%p = 1%
PPV = %
3.描述统计中等
202530354045

求数据的样本标准差 s：19, 48, 23, 31, 36。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值低于 58 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 58
P =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E99%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：40 部手机，均值 146 h，已知标准差 7 h。型号 2：50 部手机，均值 141.5 h，已知标准差 16 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的下限。

n₁ = 40x̄₁ = 146 hσ₁ = 7 hn₂ = 50x̄₂ = 141.5 hσ₂ = 16 h99%
下限 = h
6.置信区间困难
σ = 22, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

总体标准差为 22。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 22E = 2.590%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：60 个零件的样本平均长度为 107.5 mm，该生产线的已知标准差为 18 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 109.7 mm，已知标准差为 18 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 60x̄₁ = 107.5 mmσ₁ = 18 mmn₂ = 40x̄₂ = 109.7 mmσ₂ = 18 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 60 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 46 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 46n₂ = 200
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 1.6

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 151/69 = 2.188
对照: 75/55 = 1.364

比值比

OR = (151·55)/(75·69) = 1.605 ≈ 1.6

答案

OR = 1.6

OR 大于 1：暴露在病例中更常见。

2.循证实践统计学

答案: PPV = 6.4 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.88·0.01 = 0.0088
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.13·0.99 = 0.1287

阳性预测值

PPV = 0.0088/(0.0088 + 0.1287) = 0.064 = 6.4%

答案

PPV = 6.4%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 11.41

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 157/5 = 31.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.4)² + 16.6² + (−8.4)² + (−0.4)² + 4.6² = 521.2

标准差

s = √(521.2/4) = 11.41

答案

s = 11.41
4.描述统计

答案: P = 0.2119

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119

答案

P = 0.2119
5.置信区间

答案: 下限 = −1.989 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 146 − 141.5 = 4.5

标准误

SE = √(7²/40 + 16²/50) = 2.519

误差范围

E = 2.576·2.519 = 6.489

区间

4.5 ± 6.489 → [−1.989, 10.99]

答案

下限 = −1.989 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

6.置信区间

答案: n = 210

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·22/2.5)² = 209.6

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 210

答案

n = 210
7.假设检验与置信区间

答案: z = −0.5988

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(18²/60 + 18²/40) = √13.5 = 3.674

检验统计量

z = (107.5 − 109.7)/3.674 = −0.5988

答案

z = −0.5988

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = −0.804

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 60/300 = 0.2
p̂₂ = 46/200 = 0.23
p̂ = 106/500 = 0.212

H₀ 下的标准误

SE = √(0.212·0.788·(1/300 + 1/200)) = 0.03731

检验统计量

z = (0.2 − 0.23)/0.03731 = −0.804

答案

z = −0.804

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

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