循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度: Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值: PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度: (a + d)/n
似然比: LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV: Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值: 比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)；检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标: RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数: NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比: OR = ad/(bc)
发病率: 新发病例 / 人时

方法

计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数: x̄ = Σx/n
样本标准差: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数: 排序后数据的中间值
z 分数: z = (x − μ)/σ
正态分布: 68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知: x̄ ± z·σ/√n
σ 未知: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值: 90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量: n = (z·σ/E)², rounded up

方法

在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
求该置信水平下的临界值。
误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
均值的 t 检验: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧: 若 |z| > 1.96 则拒绝 H₀
置信区间: x̄ ± z·σ/√n

方法

写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
与临界值比较，或求出 p 值。
若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。在一项队列研究中，暴露者贡献了 7900 人年，有 71 例新发病例；未暴露者贡献了 2300 人年，有 7 例新发病例。求发病率比IRR（暴露组对未暴露组）。保留两位小数。

暴露: 71/7900 PY未暴露: 7/2300 PY

IRR =

2.循证实践统计学困难

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。一种治疗使事件风险相对降低 32%（RRR = 32%）。在某患者群体中，不治疗时五年内的风险（CER）为 19%。求五年内预防一次事件所需的治疗人数NNT。向上取整到整数患者。

RRR = 32%CER = 19%

NNT =

3.描述统计中等

求数据的样本标准差 s：17, 18, 47, 18, 34, 51, 31。

n = 7

s =

4.描述统计困难

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。数值高于 62.5 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 5x = 62.5

P =

5.置信区间中等

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 90% 置信区间，其误差范围为 2.3。基于 100 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

90%n₁ = 25E₁ = 2.395%n₂ = 100

E₂ =

6.置信区间困难

15 根机加工轴的直径样本标准差为 2.5 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 14 时，χ² 分布有 2.5% 位于 5.629 以下，2.5% 位于 26.119 以上。

n = 15s = 2.5 µmχ² = 5.629, 26.119

σ = µm

7.假设检验与置信区间中等

比较两种教学方法。第 1 组：5 名学生，平均分 83，标准差 3。第 2 组：9 名学生，平均分 87.9，标准差 10.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 5x̄₁ = 83s₁ = 3n₂ = 9x̄₂ = 87.9s₂ = 10.5

t =

8.假设检验与置信区间困难

64 次测量的样本均值为 123。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 123σ = 12n = 6490%

L =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IRR = 2.95

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

发病率

暴露: 71/7900 = 8.987 每 1000 人年

未暴露: 7/2300 = 3.043 每 1000 人年

率比

IRR = 8.987/3.043 = 2.953 ≈ 2.95

答案

IRR = 2.95

2.循证实践统计学

答案: NNT = 17

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

绝对风险降低

ARR = 0.19·0.32 = 0.0608

需要治疗人数

NNT = 1/0.0608 = 16.45 → 17

答案

NNT = 17

相同的相对效果，在基线风险越高时，NNT 越小。

3.描述统计

答案: s = 14.14

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 216/7 = 30.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−13.86)² + (−12.86)² + 16.14² + (−12.86)² + 3.143² + 20.14² + 0.1429² = 1199

标准差

s = √(1199/6) = 14.14

答案

s = 14.14

4.描述统计

答案: P = 0.9332

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681

P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332

5.置信区间

答案: E₂ = 1.37

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/1.645)·√(25/100) = 0.5957

新的误差范围

E₂ = 2.3·0.5957 = 1.37

答案

E₂ = 1.37

6.置信区间

答案: σ = 1.83 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 14·2.5² = 87.5

σ² 的限值

87.5/26.119 = 3.35

87.5/5.629 = 15.54

σ 的限值

σ = √3.35 = 1.83 µm

答案

σ = 1.83 µm

σ 的 95% 区间：[1.83, 3.943] µm。

7.假设检验与置信区间

答案: t = −1.004

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

s_p² = (4·3² + 8·10.5²)/12 = 76.5

s_p = 8.746

标准误

SE = 8.746·√(1/5 + 1/9) = 4.879

检验统计量

t = (83 − 87.9)/4.879 = −1.004

答案

t = −1.004

df = 12 时，双侧 5% 的临界值为 2.179；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: L = 120.5

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·12/√64 = 2.468

区间端点

L = 123 − 2.468 = 120.5

答案

L = 120.5

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