循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
Se75%Sp85%LR+ = ?

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项检测的灵敏度为 75%，特异度为 85%。 求阳性似然比LR+。 保留两位小数。

Se = 75%Sp = 85%
LR+ =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数?负数总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 97%、特异度为 77% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 4%。 预期会有多少假阳性结果FP？

N = 10 000p = 4%Se = 97%Sp = 77%
FP =
3.描述统计中等
152025303540455055

求数据的样本标准差 s：13, 57, 40, 28, 11, 25。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 15。数值高于 82.5 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 15x = 82.5
P =
5.置信区间中等
n = 25, s = 13LUx̄ = 30E = ?99%

一个包含 25 个个体的样本，均值为 30，标准差 s = 13。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的误差范围 E。

n = 25x̄ = 30s = 1399%t(24) = 2.797
E =
6.置信区间困难
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 29E = 295%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −2.06402.064

25 名学生的样本平均分为 105.8，样本标准差为 12。求 H₀: μ = 100 的检验统计量 t。

μ₀ = 100x̄ = 105.8s = 12n = 25
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 150 名患者中有 83 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 138 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 138n₂ = 300
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: LR+ = 5

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

阳性似然比

LR+ = 0.75/(1 − 0.85) = 5

答案

LR+ = 5
2.循证实践统计学

答案: FP = 2208

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.04 = 400
10 000 − 400 = 9600

假阳性

FP = 9600·0.23 = 2208

答案

FP = 2208

在 2596 个阳性结果中，只有 388 人患病（PPV 14.9%）。

3.描述统计

答案: s = 17.33

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 174/6 = 29

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−16)² + 28² + 11² + (−1)² + (−18)² + (−4)² = 1502

标准差

s = √(1502/5) = 17.33

答案

s = 17.33
4.描述统计

答案: P = 0.06681

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 1.5

标准正态分布表

Φ(1.5) = 0.9332
P = 1 − 0.9332 = 0.06681

答案

P = 0.06681
5.置信区间

答案: E = 7.272

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 24, t = 2.797

误差范围

E = 2.797·13/√25 = 7.272

答案

E = 7.272
6.置信区间

答案: n = 808

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·29/2)² = 807.7

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 808

答案

n = 808
7.假设检验与置信区间

答案: t = 2.417

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 12/√25 = 12/5 = 2.4

检验统计量

t = (105.8 − 100)/2.4 = 2.417

答案

t = 2.417
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| > 2.064，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = 1.867

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 83/150 = 0.5533
p̂₂ = 138/300 = 0.46
p̂ = 221/450 = 0.4911

H₀ 下的标准误

SE = √(0.4911·0.5089·(1/150 + 1/300)) = 0.04999

检验统计量

z = (0.5533 − 0.46)/0.04999 = 1.867

答案

z = 1.867

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

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