循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗55225280ab对照203577780cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，280 名患者接受新疗法，780 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求预防一次事件所需的治疗人数NNT。 向上取整到整数患者。

治疗: 55/280对照: 203/780
NNT =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数?负数总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 70%、特异度为 97% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 22%。 预期会有多少真阳性结果TP？

N = 10 000p = 22%Se = 70%Sp = 97%
TP =
3.描述统计中等
20253035

求数据的样本标准差 s：32, 18, 37, 39, 25。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。数值高于 80 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 20x = 80
P =
5.置信区间中等
n = 15, sd​ = 4.70LU = ?d̄ = 1.9E99%

测量 15 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 1.9，标准差为 4.7。 求平均差值的 99% 置信区间的上限。

n = 15d̄ = 1.9sd = 4.799%t(14) = 2.977
上限 = mmHg
6.置信区间困难
n = 25σ = ?Us = 10.795%

25 根机加工轴的直径样本标准差为 10.7 µm。假设直径服从正态分布，求总体标准差 95% 置信区间的下限 σ。df = 24 时，χ² 分布有 2.5% 位于 12.401 以下，2.5% 位于 39.364 以上。

n = 25s = 10.7 µmχ² = 12.401, 39.364
σ = µm
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 140 mm，该生产线的已知标准差为 5 mm。生产线 2：60 个零件的样本均值为 145.2 mm，已知标准差为 11 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 140 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 60x̄₂ = 145.2 mmσ₂ = 11 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 90 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 28 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 90n₁ = 300x₂ = 28n₂ = 80
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: NNT = 16

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 55/280 = 0.1964
CER = 203/780 = 0.2603

需要治疗人数

ARR = 0.2603 − 0.1964 = 0.06383
NNT = 1/0.06383 = 15.67 → 16

答案

NNT = 16

治疗 16 名患者约可预防一次事件。

2.循证实践统计学

答案: TP = 1540

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.22 = 2200
10 000 − 2200 = 7800

真阳性

TP = 2200·0.7 = 1540

答案

TP = 1540
3.描述统计

答案: s = 8.701

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 151/5 = 30.2

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.8² + (−12.2)² + 6.8² + 8.8² + (−5.2)² = 302.8

标准差

s = √(302.8/4) = 8.701

答案

s = 8.701
4.描述统计

答案: P = 0.8413

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587
P = 1 − 0.1587 = 0.8413

答案

P = 0.8413
5.置信区间

答案: 上限 = 5.513 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 14, t = 2.977

误差范围

E = 2.977·4.7/√15 = 3.613

区间

1.9 ± 3.613 → [−1.713, 5.513]

答案

上限 = 5.513 mmHg
6.置信区间

答案: σ = 8.355 µm

方差的区间：(n − 1)s²/σ² 服从自由度为 n − 1 的 χ² 分布。σ² 的 95% 区间从 (n − 1)s² 除以上侧 χ² 值（其上方占 2.5%）到 (n − 1)s² 除以下侧 χ² 值（其下方占 2.5%）；σ 的区间是这两个限值的平方根。它关于 s 不对称。

平方和

(n − 1)s² = 24·10.7² = 2748

σ² 的限值

2748/39.364 = 69.8
2748/12.401 = 221.6

σ 的限值

σ = √69.8 = 8.355 µm

答案

σ = 8.355 µm

σ 的 95% 区间：[8.355, 14.89] µm。

7.假设检验与置信区间

答案: z = −3.08

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(5²/30 + 11²/60) = √2.85 = 1.688

检验统计量

z = (140 − 145.2)/1.688 = −3.08

答案

z = −3.08

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = −0.8588

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 90/300 = 0.3
p̂₂ = 28/80 = 0.35
p̂ = 118/380 = 0.3105

H₀ 下的标准误

SE = √(0.3105·0.6895·(1/300 + 1/80)) = 0.05822

检验统计量

z = (0.3 − 0.35)/0.05822 = −0.8588

答案

z = −0.8588

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

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