循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露12231ab未暴露58449cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 70 名患某病的患者（病例）和 680 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 12b = 231c = 58d = 449
OR =
2.循证实践统计学困难
检验前5%检验后?p′LR+

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 5%。一项灵敏度为 77%、特异度为 87% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 5%Se = 77%Sp = 87%正数
p′ = %
3.描述统计中等
1520253035

求数据的样本标准差 s：35, 34, 12, 11, 15, 30。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 15。数值低于 100 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 15x = 100
P =
5.置信区间中等
n = 30, s = 13.5L = ?Ux̄ = 104E90%

一个包含 30 个个体的样本，均值为 104，标准差 s = 13.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 104s = 13.590%t(29) = 1.699
下限 =
6.置信区间困难
p ≈ 0.3, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02590%

一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 90% 置信区间的误差范围不超过 0.025？

p ≈ 0.3E = 0.02590%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：30 个零件的样本平均长度为 121.5 mm，该生产线的已知标准差为 17 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 116.7 mm，已知标准差为 13 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 121.5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 40x̄₂ = 116.7 mmσ₂ = 13 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.01βσ = 23, 功效 90%, n = ?

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 23。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 90%δ = 5σ = 23zα = 2.326zβ = 1.282
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 0.4

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 12/58 = 0.2069
对照: 231/449 = 0.5145

比值比

OR = (12·449)/(231·58) = 0.4021 ≈ 0.4

答案

OR = 0.4

OR 小于 1：暴露在病例中较少见，提示有保护作用。

2.循证实践统计学

答案: p′ = 23.8 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR+ = 0.77/(1 − 0.87) = 5.923

检验前比值

0.05/(1 − 0.05) = 0.05263

检验后比值

0.05263·5.923 = 0.3117

检验后概率

p′ = 0.3117/(1 + 0.3117) = 0.2377 ≈ 23.8%

答案

p′ = 23.8%
3.描述统计

答案: s = 11.34

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 137/6 = 22.83

离差平方

Σ(x − x̄)² = 12.17² + 11.17² + (−10.83)² + (−11.83)² + (−7.833)² + 7.167² = 642.8

标准差

s = √(642.8/5) = 11.34

答案

s = 11.34
4.描述统计

答案: P = 0.9772

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772

答案

P = 0.9772
5.置信区间

答案: 下限 = 99.81

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 1.699

误差范围

E = 1.699·13.5/√30 = 4.188

区间

104 ± 4.188 → [99.81, 108.2]

答案

下限 = 99.81
6.置信区间

答案: n = 910

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.645²·0.3·0.7/0.025² = 909.2

向上取整

n = 910

答案

n = 910
7.假设检验与置信区间

答案: z = 1.289

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(17²/30 + 13²/40) = √13.86 = 3.723

检验统计量

z = (121.5 − 116.7)/3.723 = 1.289

答案

z = 1.289

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 276

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.282)·23/5)² = 275.5

向上取整

n = 276

答案

n = 276

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